Archivos del mes: marzo 2007

El infinito

Un artículo sobre el infinito en un Archivo de la Historia de las Matemáticas presenta problemas especiales. ¿Se concentra uno puramente en los aspectos matemáticos del tema o se consideran los aspectos filosóficos o incluso religiosos? En este artículo veremos que históricamente no pueden separarse los aspectos filosóficos y religiosos de los matemáticos dado que juegan un papel importante en cómo se desarrollaron las ideas.

Ésto es particularmente cierto en tiempos de los antiguos griegos, como escribe Knorr en [26]:-

“La interacción de filosofía y matemáticas en raras ocasiones se revela con tanta claridad como en el estudio del infinito entre los antiguos griegos. Los enigmas dialécticos de los Eleáticos del siglo V, refinados por Platón y Aristóteles en el siglo IV, y complementados con la invención de métodos precisos de límites, como los aplicados por Eudoxo en el siglo IV y Euclides y Arquímedes en el III”.

Por supuesto, desde el momento en que la gente comenzó a pensar acerca del mundo en que vivían, surgieron las preguntas sobre el infinito. Había preguntas sobre el tiempo. ¿Apareció el mundo en un instante concreto o siempre había existido? ¿Existiría para siempre o tendría un final determinado? Entonces comenzaron las preguntas sobre el espacio. ¿Qué sucede si se permanece viajando en una dirección concreta? ¿Se alcanzaría el final del mundo o se podría viajar para siempre? De nuevo, sobre la Tierra se pueden ver las estrellas, planetas, el Sol y la Luna, pero ¿era este espacio finito o se extendería para siempre?

Las preguntas de arriba son fundamentales y han puesto en problemas a los pensadores a lo largo de toda la historia. Hay preguntas más sutiles acerca del infinito las cuales fueron también formuladas en una etapa en que la gente comenzaba a pensar profundamente sobre el mundo. ¿Qué sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y continúa haciendo esto? ¿Podría hacerlo indefinidamente?

Deberíamos comenzar nuestro relato sobre el infinito con el Eleático del siglo V Zenón. Los primeros griegos habían llegado al problema del infinito en una etapa temprana en su desarrollo de la ciencia y las matemáticas. En su estudio de la materia hicieron la pregunta fundamental: ¿se puede dividir de forma continua la materia en trozos más y más pequeños o se alcanza una pieza tan diminuta que no puede dividirse aún más? Pitágoras había argumentado que “todo son números” y su Universo estaba hecho de un número finito de números naturales. Entonces llegaron los Atomistas que creían que la materia estaba compuesta de un número infinito de indivisibles. Parménides y la Escuela Eleática, con Zenón incluido, argumentaban contra los Atomistas. Sin embargo las paradojas de Zenón demuestran que ambos creían que la materia es continuamente divisible y la creencia en la teoría atómica llevó a ambos a aparentes contradicciones.

Por supuesto estas paradojas surgen del infinito. Aristóteles no pareció apreciar por completo la relevancia de los argumentos de Zenón sobre el infinito ya que el infinito no le preocupaba en absoluto. Introdujo una idea que dominaría el pensamiento durante dos mil años y es aún un argumento persuasivo para alguna gente hoy día. Aristóteles argumentaba contra el infinito real y, en su lugar, consideraba un infinito potencial. Su idea era que nunca podremos concebir los números naturales como un todo. Sin embargo son potencialmente infinitos en el sentido que dado un conjunto finito siempre podemos encontrar un conjunto finito mayor.

Es de importancia para nuestra discusión el notable avance hecho por los Babilonios quienes introdujeron la idea de un sistema numérico posicional el cual, por primera vez, nos permitía una representación concisa de los números sin limitar su tamaño. A pesar de los sistemas numéricos posicionales, el argumento de Aristóteles es bastante convincente. Solo un número finito de números naturales ha sido alguna vez escrito o pensado. Si L es el mayor número pensado hasta ahora entonces podemos ir más lejos y escribir L + 1, o L2 pero aún pueden pensarse muchos otros finitos. Aristóteles discutía esto en sus Capítulos 4-8 del Libro III de Física (ver [36]) donde afirma que negar que exista el infinito real y permitir solo el infinito potencial no sería un obstáculo para los matemáticos:-

“Nuestra labor no es robarle a los matemáticos su ciencia, refutando la existencia real del infinito en la dirección de incremento, en el sentido de infranqueable. A decir verdad ellos no necesitan el infinito y no lo usan. Solo postulan que una línea recta finita puede ser prolongada tanto como se desee”.

Cantor, unos dos mil años más tarde, argumentaba que Aristóteles estaba haciendo una distinción que estaba solo en su uso de las palabras:-

“… en realidad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada, en el grado que como concepto de infinito potencial siempre apunta hacia un concepto de infinito real lógicamente anterior de cuya existencia depende”.

Llegaremos a las ideas de Cantor hacia el final del artículo pero por el momento tengamos en cuenta el efecto que tuvo Aristóteles en los posteriores matemáticos griegos al permitir solo el infinito potencial, particularmente sobre Euclides; ver por ejemplo [36]. ¿Cómo entonces, podríamos preguntarnos, fue capaz Euclides de probar que el conjunto de números primos es infinito en el 300 a. C.? Bien, la respuesta es que Euclides no probó esto en Elementos. Esto es simplemente una formulación moderna de lo que Euclides afirmó en realidad en su teorema, de acuerdo con la traducción de Heath, dice:-

“Los números primos son mayores que cualquier magnitud asignada de números primos”.

Por tanto, lo que de hecho probó Euclides era que los números primos son infinitos potenciales pero en la práctica, por supuesto, ésto es lo mismo. Su prueba demuestra que, dada una colección finita de números primos, debe haber un número primo que no esté en el grupo.

Deberíamos debatir otros aspectos del infinito que juegan un papel crucial en Elementos. Allí Euclides explica el método exhaustivo de Eudoxo de Cnido. A menudo este método se usa para considerar el círculo como límite de polígonos regulares cuando el número de lados aumenta hasta infinito. Deberíamos enfatizar firmemente, sin embargo, que esta no es la forma en la que los antiguos griegos observaron el método. En lugar de esto fue un argumento de reducción al absurdo el que evitó el uso del infinito. Por ejemplo, para probar que dos áreas A y B son iguales, el método supondría que el área de A es menor que la de B para entonces derivar una contradicción tras un número finito de pasos. De nuevo, suponer que el área de B es menor que la de A también nos lleva a una contradicción en un número finito de pasos.

Recientemente, sin embargo, han salido a la luz pruebas que sugieren que no todos los antiguos matemáticos griegos se sentían restringidos a tratar solo con el infinito potencial. Los autores de [32] se han dado cuenta de una forma sorprendente en que Arquímedes investigó el número infinito de objetos en El Método, un manuscrito de Arquímedes:-

… Arquímedes tomó tres pares de magnitudes infinitas en número y afirmó que eran, respectivamente ‘iguales en número'”. …

Sospechamos que no existió ningún otro lugar conocido en la matemática griega – o, de hecho, en los antiguos escritos griegos – donde los objetos infinitos en número se les llame iguales en magnitud.

“…La sugerencia de que ciertos objetos, infinitos en número, son ‘iguales en magnitud’ a otros implica que no todos estos objetos, infinitos en número, son tan iguales. … Tenemos aquí muchos objetos infinitos – con definidas y diferentes magnitudes (es decir son cercanos en número); tales magnitudes son manipuladas de una forma concreta, aparentemente por algo similar a una correspondencia uno a uno. … en este caso Arquímedes trata los infinitos reales casi como si poseyeran números en el sentido habitual…”

Incluso cuando la mayoría de matemáticos aceptaron los argumentos del infinito potencial de Aristóteles, otros argumentaban casos de infinito real. En el siglo I a. C. Lucrecio escribió su poema De Rerum Natura en el cual argumentaba contra un Universo limitado en el espacio. Su argumento es simplemente uno. Supongamos que el Universo fuese finito por lo que tendría que tener un límite. Ahora, si nos aproximamos al límite y lanzamos un objeto en él ,no habría nada que lo detuviera ya que cualquier cosa que pudiese pararlo estaría más allá del límite y nada puede existir más allá del Universo por definición. Ahora sabemos, por supuesto, que el argumento de Lucrecio es falso dado que el espacio podría ser finito sin tener límite. Sin embargo durante muchos siglos el argumento del límite dominó el debate sobre si el espacio era finito.

Eso se agrandó por los teólogos que argumentaban en favor del infinito real. Por ejemplo San Agustín, el filósofo cristiano que trasladó gran parte de la filosofía de Platón al cristianismo a principios del siglo V D. C., argumentaba en favor de un Dios infinito y también de un Dios capaz de pensamientos infinitos. Escribió en su trabajo más famoso, Ciudad de Dios:-

“Tal como digo que tales cosas infinitas son pasado en el conocimiento de Dios podrían también saltar precipitadamente este agujero de impiedad, y digo que Dios no conoce todos los números. … ¿Qué loco diría eso? … Sería miserable atreverse a presumir que tiene límites en su sabiduría”.

Los matemáticos hindúes trabajaron en la introducción del cero en su sistema numérico durante un periodo de unos 500 años empezando con Brahmagupta en el siglo VII. El problema que se encontraron fue qué hacer con el cero respecto a las operaciones aritméticas habituales. Bhaskara II escribió en Bijaganita:-

“Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracción en la cual su denominador es cero. Esta fracción determina una cantidad infinita. En esta cantidad que tiene el cero como su divisor, no existe alteración, aunque se pueden insertar y extraer muchos; así como ningún cambio tiene lugar en el infinito y el inmutable Dios cuando el mundo es creado o destruido, aunque numerosos órdenes de seres sean absorbidos o creados”.

Este fue un intento de traer el infinito, así como el cero, al sistema numérico. Por supuesto no funcionó debido a que si introducimos la sugerencia de Bhaskara II entonces 0 veces infinito debe ser igual a cada número n, por lo que todos los números son iguales.

Tomás de Aquino, el teólogo y filósofo cristiano, usó el hecho de que no hay un número para representar el infinito como argumento contra la existencia del infinito real. En Summa Theologia, escrito en el siglo XIII, Tomás de Aquino escribió:-

“La existencia de una multitud de infinitos reales es imposible. Para cualquier conjunto de cosas que uno tiene en cuenta debe existir un conjunto específico. Un conjunto está especificado por el número de cosas que hay en él. Ningún número es infinito, para el resultado numérico de contar a través de un conjunto de unidades. Por tanto ningún conjunto de cosas puede en realidad estar inherentemente ilimitado, ni puede suceder que sea ilimitado”.

Esta objeción era en efecto razonable para la época de Aquino y no tuvo una respuesta satisfactoria. Un conjunto infinito real requiere una medida, y tal medida no parecía posible para Aquino. Tenemos que movernos hacia adelante hasta Cantor cerca de finales del siglo XIX antes de encontrar una medida satisfactoria para conjuntos infinitos. El artículo [15] examina:-

“… los argumentos matemáticos usados por dos teólogos del siglo XIII, Alexander Nequam y Richard Fishacre, para defender la consistencia del infinito divino. En conexión con sus argumentos, se planteó la siguiente cuestión: ¿Por qué los teólogos juzgaban como inapropiado recurrir a ejemplos matemáticos en relación con un tema puramente teológico?”.

La inducción matemática comenzó a usarse cientos de años antes que se hiciera ninguna formulación rigurosa del método. Ésta proporcionaba una técnica para probar que las proposiciones eran ciertas para un número infinito de valores enteros. Por ejemplo, al-Karaji alrededor del año 1000 D. C. usó una forma no rigurosa de inducción matemática en sus argumentos. Básicamente lo que al-Karaji hizo fue demostrar un argumento para n = 1, entonces probar el caso para n = 2 basándose en el resultado de n = 1, entonces probar el caso n = 3 basándose en el caso de n = 2, y llegar hasta n = 5 antes de resaltar que se podría continuar el proceso de forma indefinida. A través de estos métodos dio una maravillosa descripción para generar los coeficientes binomiales usando el triángulo de Pascal.

Pascal no sabía nada del trabajo de al-Karaji sobre el triángulo de Pascal pero sabía que Maurolico había usado un argumento de tipo de inducción matemática a mediados del siglo XVII. Pascal, proponiendo su versión del triángulo de Pascal escribió:-

“Incluso aunque esta proposición puede tener un número infinito de casos, daré una breve prueba de ellos suponiendo dos axiomas. El primero, que es evidente por sí mismo, es que la proposición es válida para la segunda fila. La segunda es que si la proposición es válida para cualquier fila entonces es necesariamente válida para la siguiente fila. De aquí puede verse que es necesariamente válido para todas las filas; dado que es válido para la segunda fila por el primer axioma; y por el segundo axioma debe ser cierto para la tercera fila, y de aquí para la cuarta y así hasta el infinito”.

Habiéndonos movido hacia delante en el tiempo siguiendo el progreso de la inducción, volvamos atrás un poco para ver argumentos que se hicieron acerca del Universo infinito. El modelo de Universo finito de Aristóteles con nueve esferas celestiales centradas en la Tierra había sido el punto de vista aceptado durante un largo periodo. No tuvo oposición, sin embargo, ya hemos visto el argumento de Lucrecio a favor de un Universo infinito. Nicolás de Cusa, a mediados del siglo XV, fue un brillante científico que argumentó que el Universo era infinito y que las estrellas eran soles distantes. En el siglo XVI, la Iglesia Católica europea inició su intento de acabar con tales herejías. Giordano Bruno no era matemático ni científico, pero argumentó con fuerza a favor de un Universo infinito en “Sobre el Universo infinito y los Mundos” (1584). Llevado ante la Inquisición, fue torturado durante nueve años en un intento de obligarlo a aceptar que el Universo era finito. Rechazó cambiar su opinión y fue quemado en la hoguera en el año 1600.

Galileo era sumamente consciente del destino de Bruno en manos de la Inquisición y eso le hizo ser muy cauto a la hora de exponer sus puntos de vista. Abordó el tema del Infinito en Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638) donde estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, el círculo mayor A con diámetro dos veces mayor que el círculo menor B. La fórmula habitual nos da que la circunferencia de A debe ser el doble que la de B. Pero tomando cualquier punto P en el círculo A, entonces PA corta al círculo B en un punto. De forma similar si Q es un punto sobre B entonces OQ corta al círculo A en exactamente un punto. Aunque la circunferencia de A es dos veces mayor que la longitud de la circunferencia de B ambas tienen el mismo número de puntos. Galileo propuso añadir un número infinito de espacios infinitamente pequeños a la longitud menor para hacerla igual a la mayor y permitir que tuviesen el mismo número de puntos. Escribió:-

“Estas dificultades son reales; y no son las únicas. Pero recordemos que estamos tratando con infinitos e indivisibles, los cuales trascienden nuestra comprensión finita, los primeros a causa de su magnitud, los últimos debido a su pequeñez. A pesar de esto, los hombres no pueden abstenerse de discutirlos, incluso aunque deba hacerse de forma indirecta”.

Sin embargo, Galileo argumentó que las dificultades eran debidas a:-

“… intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asignándole propiedades que damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras”.

Entonces dio otra paradoja similar a la del círculo esta vez con números ni infinitos ni indivisibles que podían ser insertados en el lugar correcto. Proporcionó la correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados. Por una parte demostró que había el mismo número de cuadrados que de números. Sin embargo la mayoría de los números no eran cuadrados perfectos, Galileo dijo que esto solo podía significar que:-

“… el total de los números es infinito, y el número de cuadrados es infinito.; ni es menor el número de cuadrados que el de la totalidad de números, ni el otro mayor que el anterior; y, finalmente, los atributos ‘igual’, ‘mayor’, y ‘menor’ no son aplicables al infinito, sino solo a cantidades finitas”.

En [25], Knobloch toma un nuevo punto de vista sobre este trabajo de Galileo. En el mismo papel se examinan las cuidadosas definiciones de Leibniz sobre el infinitesimal y el infinito en términos de procedimientos de límites. El desarrollo de Leibniz del Cálculo se construyó sobre ideas de lo infinitamente pequeño que habían sido estudiadas durante largo tiempo.

Cavalieri escribió Geometria indivisibilibus continuorum (1635) en el cual piensa que las líneas están constituidas por infinitos puntos y las áreas compuestas de infinitas líneas. Dio un método bastante riguroso de comparación de áreas, conocido como “Principio de Cavalieri”. Si movemos una línea paralelamente a sí misma a lo largo de dos áreas y si el radio de las longitudes de la línea dentro de cada área es siempre a : b entonces el radio de las áreas es a : b.

Roberval fue aún más lejos en el camino de pensar en la líneas como la suma de un infinito número de pequeñas partes indivisibles. Introdujo métodos para comparar los tamaños de los indivisibles de forma que incluso si no tienen magnitud por sí mismos se pueden definir rangos de sus magnitudes. Este fue un gran avance en el trabajo con procesos infinitos ya que por primera vez en la historia fue capaz de ignorar magnitudes que eran pequeñas comparadas con otras. Sin embargo, hay una diferencia entre ser capaz de usar el método de forma correcta y escribir las condiciones precisas rigurosamente sobre cuándo podemos usarlo. Consecuentemente se generaron paradojas lo que llevó a algunos a querer rechazar el método de indivisibles.

El Colegio Romano rechazó los indivisibles y prohibió su enseñanza en los Colegios Jesuitas en 1649. La Iglesia había fallado al silenciar a Bruno a pesar de llevarlo a la muerte, falló al intentar silenciar a Galileo a pesar de ponerlo bajo arresto domiciliario y no podría detener el progreso hacia el cálculo diferencial e integral prohibiendo la enseñanza de los indivisibles. Más bien la Iglesia solo obligaría a los matemáticos a que se esforzaran por dar un mayor rigor contra las críticas.

El símbolo infinito que usamos para el infinito hoy día, se usó por primera vez por John Wallis quien lo usó en De sectionibus conicis en 1655 y de nuevo en Arithmetica infinitorum en 1656. Eligió este símbolo para representar el hecho de que se podría atravesar la curva infinitamente.

Tres años más tarde Fermat identificó una importante propiedad de los enteros positivos, a saber, no contienen una secuencia descendente infinita. Hizo este descubrimiento introduciendo el método de descenso infinito en 1659:-

… en los casos donde los métodos ordinarios dados en los libros se muestran insuficientes para manejar proposiciones de tal dificultad, he encontrado al fin una forma completamente excepcional de trabajar con ellos. He llamado a este método de comprobación de infinito descenso …

El método estaba basado en demostrar que si una proposición era cierta para algún valor entero positivo n, entonces también era verdad para algunos valores enteros positivos menores que n. Debido a que no existe una cadena de descenso infinita en los enteros positivos tal prueba caería en una contradicción. Fermat usó este método para probar que no existían soluciones enteras positivas para x4 + y4 = z4.

Newton rechazó los indivisibles en favor de su fluxión que era una medida de la variación instantánea de una cantidad. Por supuesto, el infinito no se había eludido dado que aún tenía que tener en cuenta incrementos infinitamente pequeños. Esto era, en cierto sentido, la respuesta de Newton al problema de la flecha de Zenón:-

Si, dice Zenón, todo está en reposo o en movimiento cuando ocupa un espacio igual a sí mismo, mientras el objeto movido está en ese instante, la flecha en movimiento permanece quieta.

La fluxión de Newton produjo resultados matemáticos fantásticos pero había mucha cautela en el uso de incrementos infinitamente pequeños. La famosa cita de George Berkeley resume las objeciones de una forma sucinta:-

¿Y qué son estas fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. ¿Y qué son los mismo incrementos evanescentes? No son más que cantidades finitas, no cantidades infinitamente pequeñas, ni nada de eso. ¿No podríamos llamarlos fantasmas o cantidades ‘huidas’?

Newton creía que el espacio es de hecho infinito y no indefinidamente grande. Proclamó que tal infinidad podía ser comprendida, usando en particular argumentos geométricos, pero no pudo concebirlo. Esto es interesante para, como veremos más abajo, otros argumentos contra el infinito real usando el hecho de que no puede ser concebido.

El problema de si el espacio y el tiempo eran infinitamente divisibles continuaba poniendo en problemas. El filósofo David Hume argumentó que había un mínimo tamaño perceptible en su Tratado de la Naturaleza Humana (1739):-

Pon una mancha de tinta en el papel, fija tu mirada en el punto, y retíralo a tal distancia que finalmente lo pierdas de vista; es evidente que el momento en que la imagen o impresión desapareció es perfectamente indivisible.

Immanuel Kant argumentó en La Crítica a la Razón Pura (1781) que el infinito real no puede existir dado que no puede percibirse:-

… para concebir el mundo, que llena todo el espacio, como un todo, la sucesiva síntesis de las partes de un mundo infinito tendrían que plantearse como completas; es decir, un tiempo infinito tendría que considerarse como transcurrido, durante la enumeración de todas las cosas que coexisten.

Esto trae la cuestión a menudo preguntada por los filósofos: ¿existiría el mundo si no hubiese una inteligencia capaz de pensar en su existencia? Kant dice no; por lo que volvemos al punto del principio de este artículo, el conjunto de los enteros no es infinito dado que nunca podremos enumerar más de un número finito de números.

Se hicieron pequeños progresos en la cuestión del infinito real. Los mismos argumentos parecían no hacer ningún progreso definitivo hacia una mejor comprensión. Gauss, en una carta a Schumacher en 1831, argumentaba contra el infinito real:-

Protesto contra el uso de magnitudes infinitas como algo completo, lo que en matemáticas nunca se permite. El infinito es simplemente una forma de hablar, el significado real es un límite con ciertos rangos de aproximación indefinidamente cercanos, mientras que otros se les permite incrementarse sin restricción.

Tal vez uno de los sucesos más significativos en el desarrollo del concepto de infinito son las Paradojas de Bernard Bolzano sobre el infinito las cuales publicó en 1840. Argumenta que el infinito existe y en su argumento involucra la idea de un conjunto que define por primera vez:-

Llamo conjunto a un grupo donde el orden de sus partes es irrelevante y donde nada esencial se cambia si solo se cambia el orden.

¿Por qué la definición de un conjunto hace del infinito real una realidad? La respuesta es simple. Una vez que uno piensa en los enteros como conjunto entonces esto es una entidad simple que debe ser infinita en realidad. Aristóteles miraría los enteros desde el punto de vista que uno puede encontrar subconjuntos finitos arbitrariamente grandes. Pero una vez que se tiene el concepto de conjunto entonces estos se ven como subconjuntos del conjunto de los enteros el cual debe ser infinito en realidad. Quizás sorprendentemente Bolzano no usó este ejemplo de conjunto infinito sino que en lugar de esto mira las proposiciones ciertas:-

La clase de todas las proposiciones ciertas se ve fácilmente como infinito. Si fijamos nuestra atención sobre una verdad tomada de forma aleatoria y la etiquetamos como A, encontramos que la proposición transmite las palabras ‘A es cierta’ que es distinto de la proposición A en sí misma…

En esta etapa, el estudio matemático del infinito se mueve hacia la Teoría de Conjuntos y referimos al lector al artículo Inicios de la Teoría de Conjuntos para mayor información sobre la contribución de Bolzano y el tratamiento del infinito de Cantor quien construyó una teoría de diferentes tamaños de infinitos con sus definiciones de números cardinales y ordinales.

El problema de los infinitesimales se puso en una base matemática rigurosa por Robinson con su famoso texto de 1966 de análisis no-estándar. Kreisel escribió:-

Este libro que apareció justo 250 años después de la muerte de Leibniz, presenta una rigurosa y eficiente Teoría de Infinitesimales obedeciendo, como Leibniz quería, las mismas leyes de los números ordinarios.

Fenstad, en [17], mira al infinito y al análisis no-estándar. También examina sus usos en el modelado de fenómenos naturales.


Autores: J J O’Connor y E F Robertson

Referencias:

[15] A A Davenport, The Catholics, the Cathars, and
the concept of infinity in the thirteenth century,
Isis 88 (2) (1997), 263-295.

[17] J E Fenstad, Infinities in mathematics and the
natural sciences, in Methods and applications of
mathematical logic, Campinas, 1985, Contemp. Math. 69
(Providence, RI, 1988), 79-92.

[26] W R Knorr, Infinity and continuity in ancient and
medieval thought (Ithaca, N.Y., 1982), 112-145.

[36] D D Spalt, Die Unendlichkeiten bei Bernard
Bolzano, in Konzepte des mathematisch Unendlichen im
19. Jahrhundert (Göttingen, 1990), 189-218.

Europa se anota un nuevo éxito planetario

Venus Express entra en órbita alrededor del planeta invernadero

Imagen artística de la inserción en órbita de Venus Express.

Esta mañana, tras finalizar una travesía de 153 días y 400 millones de kilómetros dentro del Sistema Solar interno comenzando con su lanzamiento el 9 de Noviembre de 2005, la sonda espacial de la ESA, Venus Express encendió su motor principal a las 09:17 CEST durante una ignición de 50 minutos, que le llevó a la órbita alrededor de Venus.

Con este encendido, la sonda redujo su velocidad relativa hacia el planeta de 29 000 a 25 000 km/h y fue capturada por su campo gravitatorio. Esta maniobra de inserción orbital fue un rotundo éxito.

Durante las próximas cuatro semanas, la sonda Venus Express realizará una serie de maniobras para alcanzar la órbita operacional programada para su misión científica. Esto la moverá de su alargada órbita de 9 días a una órbita polar de 24 horas, culminando a 66 000 kilómetros. Desde este ventajoso punto, la órbita realizará una observación profunda de la estructura, química y dinámica de la atmósfera de Venus durante al menos dos días venusianos (486 días terrestres).

Atmósfera enigmática

Investigaciones atmosféricas de la Venus Express.

De las misiones previas a Venus así como de observaciones directas desde la Tierra, ya sabemos que nuestro planeta vecino está cubierto por una gruesa atmósfera en la que son comunes las condiciones extremas de presión y temperatura. Esta atmósfera crea un efecto invernadero de tremendas proporciones cuando gira alrededor del planeta en 4 días en un inexplicado fenómeno de “súper-rotación”.

La misión de Venus Express será llevar a cabo una detallada caracterización de esta atmósfera, usando los sensores más avanzados para responder a las preguntas y resolver los misterios que dejados por la primera oleada de exploradores. También será el primer orbitador de Venus en realizar observaciones ópticas de la superficie a través de “ventanas de visibilidad” descubiertas en el espectro infrarrojo.

ESA Puede ahora añadir a Venus a su grupo de estudio del Sistema Solar.

El funcionamiento de los instrumentos científicos de abordo comenzará en breve y se espera que lleguen los primeros datos en unos días. Se planea que toda la carga científica esté completamente operativa en dos meses.

Europa explora el Sistema Solar

Con este último éxito, ESA añade otro cuerpo celeste a su grupo de estudios del Sistema Solar. ESA también dirige la Mars Express alrededor de Marte, SMART-1 alrededor de la Luna y es compañero de NASA en el orbitador Cassini alrededor de Saturno. Además de esto, ESA también dirige la sonda Rosetta en ruta al cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko. Debería alcanzar su objetivo y convertirse en la primera nave en entrar en órbita alrededor del núcleo de un cometa en 2014. Mientras tanto, ESA también planea completar el estudio de nuestros vecinos celestes con el lanzamiento de la misión BepiColombo a Mercurio en 2013.

“Con la llegada de Venus Express, ESA es la única agencia espacial en tener operaciones científicas en marcha alrededor de cuatro planetas: Venus, la Luna, Marte y Saturno”, subraya el Profesor David Southwood, director de los programas científicos de ESA. “Estamos verdaderamente orgullosos de ofrecer tal capacidad a la comunidad científica internacional”.

¿Actividad Volcánica en Venus?

“Para una mejor comprensión de nuestro propio planeta, necesitamos explorar otros mundos, en particular aquellos con atmósfera”, dijo Jean-Jacques Dordain, Director General de ESA. “Hemos estado en Titán y ya estamos alrededor de Marte. Observando Venus y su complejo sistema atmosférico, seremos capaces de una mejor comprensión de los mecanismos que gobiernan la evolución de una gran atmósfera planetaria y los cambios climáticos. Finalmente, nos ayudará a tener mejores modelos de lo que en realidad está pasando con nuestra propia atmósfera, para beneficio de todos los ciudadanos de la Tierra”.

Paquete científico de vanguardia

Venus Express fue desarrollada para ESA por un equipo europeo liderado por EADS Astrium incorporando 25 contratistas principales de 14 países europeos. Su diseño está derivado de su exitoso predecesor, Mars Express, y su carga aloja siete instrumentos incluyendo versiones actualizadas de los tres instrumentos desarrollados para Mars Express y dos para Rosetta.

Venus, un planeta sin escudo magnético

El espectrómetro PFS determinará el perfil de temperatura y composición de la atmósfera a una resolución muy alta. También controlará la temperatura de superficie y buscará puntos calientes de posible actividad volcánica. El espectrómetro ultravioleta/infrarrojo SpicaV/SOIR y el experimento de radiociencia VeRa comprobará la atmósfera observando la ocultación de estrellas distantes o la pérdida de intensidad de las señales de radio en el limbo planetario. SpicaV/SOIR buscará principalmente rastros de moléculas de agua, oxígeno molecular y compuestos de azufre, que se sospecha que existen en la atmósfera de Venus. El espectrómetro Virtis cartografiará las distintas capas de la atmósfera y proporcionará imágenes del sistema de nubes a múltiples longitudes de onda para caracterizar la dinámica atmosférica.

En el límite exterior de la atmósfera, el instrumento Aspera y un magnetómetro investigarán la interacción con el viento solar y plasma generado en un entorno abierto sin la protección de una magnetosfera como la que tenemos alrededor de la Tierra.

La cámara multicanal gran angular VMC proporcionará imágenes en cuatro longitudes de onda, incluyendo una de las “ventanas infrarrojas” las cuales harán posibles las imágenes de la superficie a través de la capa de nubes. Proporcionará imágenes globales y ayudará en la identificación de fenómenos detectados por otros instrumentos.


Fecha original : 2006-04-11

Historia del cero

Una de las preguntas más comunes que los lectores de este archivo hacen es: ¿Quién descubrió el cero? ¿Por qué entonces no hemos escribo un artículo como este en los inicios del archivo? La razón es, básicamente, debido a la dificultad de contestar a la pregunta de una forma satisfactoria. Si alguien tuvo por primera vez la idea del cero, la cual todo el mundo vio como una brillante innovación a introducir en las matemáticas a partir de ese momento, la pregunta tendría una respuesta satisfactoria incluso si no conociésemos el genio que lo inventó. Los registros históricos, sin embargo, muestran unas vías bastante distintas hacia dicho concepto. El cero hace apariciones fantasmales sólo para desvanecerse de nuevo casi como si un matemático estuviese buscándolo pero no reconociese su significado fundamental incluso aún viéndolo.

Lo primero que hay que decir sobre el cero es que hay dos usos para el cero, ambos extremadamente importantes, pero algo distintos. Un uso es como indicador de lugar vacío en nuestro sistema numérico de valor por posición. Así pues, en un número como 2106, el cero es usado para que las posiciones del 2 y del 1 sean correctas. Claramente 216 significa algo bastante distinto. El segundo uso del cero es como un número en sí mismo, en la forma que lo usamos como 0. Hay también otros aspectos distintos del cero en estos dos usos, a saber, el concepto, la notación y el nombre. (Nuestro nombre “cero” deriva del árabe sifr el cual también nos da la palabra “cifra”.)

Ninguno de los usos de arriba tienen una fácil descripción histórica. No sucedió que alguien inventó las ideas y entonces todo el mundo comenzó a usarlas. También es justo decir que el número cero está lejos de ser un concepto intuitivo. Los problemas matemáticos comenzaron como problemas “reales” más que como problemas abstractos. Los números en los primeros momentos de la historia eran concebidos de una forma mucho más concreta que los abstractos conceptos que son nuestros números de hoy. Hay un salto mental gigantesco de 5 caballos a 5 “cosas” y de ahí a la idea abstracta de “cinco”. Si los antiguos resolvían un problema sobre cuántos caballos necesitaba un granjero el problema no iba a tener un resultado de 0 o -23 como respuesta.

Se podría pensar que una vez que aparece un sistema numérico de valor por posición entonces el 0 como indicador de posición vacía es una idea necesaria, aunque los babilonios tuvieron un sistema numérico de valor por posición sin esta característica durante 1000 años. Además no hay ninguna evidencia de que los babilonios sintiesen que había algún problema con la ambigüedad que existía. Extraordinariamente, sobrevivieron textos originales de la época de los matemáticos babilonios. Los babilonios escribían en tablas de arcilla sin cocer, usando escritura cuneiforme. Los símbolos se escribían en las tablas de arcilla blanda con el afilado ángulo de una aguja y por esto tienen una forma de cuña (de aquí el nombre de cuneiforme). Sobreviven muchas tablas de alrededor del año 1700 a. C. y podemos leer los textos originales. Por supuesto su notación numérica era bastante distinta de la nuestra (y no en base 10 sino en base 60) pero la traducción a nuestro sistema de notación no distinguiría entre el 2106 y el 216 (el contexto tendría que mostrar a qué nos referimos). No fue hasta alrededor del 400 a. C. que los babilonios colocaron dos símbolos de cuña en el lugar dónde pondríamos nuestro cero para indicar si significa 216 o 21”6.

Las dos cuñas no fueron la única notación que usaron; de hecho, en una tabla encontrada en Kish, una antigua ciudad de Mesopotamia situada al Este de Babilonia en lo que hoy sería la parte centro-sur de Irak, se usó una notación distinta. Esta tabla, que se piensa que data del 700 a. C., usa tres ganchos para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Otras tablas que datan más o menos de la misma época usan un solo gancho para un lugar vacío. Esta es una característica común para este de uso diferentes marcas para denotar una posición vacía. Es un hecho que nunca tuvo lugar al final de los dígitos sino siempre entre dos de ellos. Por lo que, aunque encontramos 21”6, nunca encontramos 216”. Se debe suponer que los antiguos sentían que el contexto era suficiente para indicar lo que se pretendía aún en estos casos.

Si la referencia al contexto te parece absurda, entonces es necesario hacer notar que nosotros aún usamos el contexto para interpretar los números hoy. Si tomas el autobús a una ciudad cercana y preguntas cuánto cuesta, si la respuesta es “Son tres cincuenta” significa 3 libras y cincuenta peniques. Si la misma respuesta se da para una pregunta sobre el precio de un vuelo de Edimburgo a Nueva York entonces sé que lo que se intenta decir son trescientas cincuenta libras.

Podemos ver de esto que el primer uso del cero para denotar un espacio vacío no es en realidad un uso del cero como número después de todo, sino meramente el uso de algún tipo de signo de puntuación para que los números tengan una interpretación correcta.

Los antiguos griegos comenzaron sus contribuciones a las matemáticas sobre la época en la que el cero como indicador de posición vacía empezaba a usarse por los matemáticos babilonios. Los griegos sin embargo no adoptaron un sistema numérico posicional. Merece la pena pensar lo significativo que es este hecho. ¿Cómo podían con los brillantes avances matemáticos de los griegos no verlos adoptar un sistema numérico con las ventajas del sistema de valor por posición que poseían los babilonios? La verdadera respuesta a esta pregunta es más sutil que la simple respuesta que vamos a dar, pero básicamente los logros matemáticos griegos estaban basados en la geometría. Aunque el Elementos de Euclides contenía un libro sobre Teoría Numérica, éste estaba basado en la geometría. En otras palabras, los matemáticos griegos no necesitaban nombrar los números dado que trabajaban con números como longitudes de una línea. Los números que requerían ser nombrados eran usados por los mercaderes, no los matemáticos, y de aquí que no necesitasen una notación clara.

Aunque existieron excepciones a lo que hemos afirmado. Las excepciones fueron los matemáticos que estaban involucrados en el registro de datos astronómicos. Aquí encontramos el primer uso del símbolo que hoy reconocemos para el cero, los astrónomos griegos comenzaron a usar el símbolo O. Hay muchas teorías acerca de por qué se usó este símbolo en particular. Algunos historiadores están a favor de la explicación de que es omicrón, la primera letra de la palabra griega para nada, es decir “ouden”. Neugebauer, sin embargo, descarta esta explicación dado que los griegos ya usaban omicrón como un número – representaba el 70 (el sistema numérico de los griegos estaba basado en su alfabeto). Otra explicación ofrecida incluye el hecho de que significa “obol”, una moneda casi sin valor, y que surge cuando se usaban fichas para contar en una tabla de arena. La sugerencia aquí es que cuando se eliminaba una ficha para dejar una columna vacía el hueco en la arena parecía un O.

Ptolomeo en el Almagesto, escrito alrededor del 130 D.C., usó el sistema babilonico sexagesimal junto con el parámetro de vacío O. En esta época Ptolomeo usaba el símbolo tanto entre dígitos como al final del número y uno estaría tentado a creer que al menos el cero como parámetro vacío se había establecido con firmeza. Ésto, sin embargo, está lejos de lo que sucedió. Solo unos pocos astrónomos excepcionales usaron la notación y cayeron en desuso varias veces antes de establecerse finalmente. La idea del lugar cero (ciertamente no concebido como un número por Ptolomeo quien aún lo consideraba un signo de puntuación) hace su siguiente aparición entre los matemáticos indios.

La escena ahora se mueve a la India donde es justo decir que nacieron los números y los sistemas numéricos, los cuales evolucionaron en los sistemas altamente sofisticados que usamos hoy. Por supuesto, no hace falta decir que el sistema indio debía algo a los sistemas previos y muchos de los historiadores de las matemáticas creen que el uso indio del cero evolucionó del usado por los astrónomos griegos. Así como algunos historiadores parecen querer quitar importancia a la contribución de los indios de una forma poco razonable, hay también quienes afirman que los indios inventaron el cero, lo que me parece ir demasiado lejos. Por ejemplo Mukherjee en [6] afirma:-

… el concepto matemático del cero … estaba presente también en la forma espiritual desde hace 17 000 años en la India.

Lo cierto es que alrededor del año 650 d. C. el uso del cero entró en la matemática india. Los indios usaron también un sistema de valor por posición y el cero se usaba para denotar un lugar vacío. De hecho, hay evidencias de un parámetro de lugar vacío en números posicionales desde tan pronto como el 200 d. C. en la India pero algunos historiadores rechazan estas como falsificaciones posteriores. Vamos a examinar este último uso primero ya que a partir de aquí continua el desarrollo descrito arriba.

Alrededor del 500 d. C. Aryabhata ideó un sistema numérico que no tenía aún el cero y que era un sistema posicional. Usó la palabra “kha” para la posición y sería usado más tarde como nombre para el cero. Hay pruebas de que se había usado el punto en los primeros manuscritos indios para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Es interesante que los mismo documentos a veces también usan un punto para denotar algo desconocido donde nosotros usaríamos x. Posteriores matemáticos indios han nombrado el cero en números posicionales pero aún no tenían un símbolo para el mismo. El primero registro del uso indio del cero datado y sobre el que todos están de acuerdo en que es genuino fue escrito en el año 876.

Tenemos una inscripción en una tabla de piedra la cual contiene una fecha que se traduce por 876. La inscripción concierne a la ciudad de Gwalior, 400 km al Sur de Delhi, donde se plantaron unos jardines de 187 por 270 hastas* el cual podría producir suficientes flores para permitir que se dieran 50 guirnaldas al día a los empleados del templo local. Ambos números, 270 y 50 están anotados casi como los de hoy aunque el 0 es menor y ligeramente elevado.

Podemos considerar ahora la primera aparición del cero como número. Déjanos primero apuntar que este no es un candidato natural para número en cierto sentido. Desde los inicios, los números son palabras para referirnos a colecciones de objetos. Ciertamente la idea de número se convierte en más y más abstracta y esta abstracción hace posible la consideración del cero y de los números negativos, los cuales no habían surgido como propiedades de las colecciones de objetos. Por supuesto el problema que surge cuando se intenta considerar el cero y los números negativos es cómo interactúan respecto a las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). En tres importantes libros, los matemáticos indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara intentaron dar respuesta a estas preguntas.

Brahmagupta intentó dar las reglas para la aritmética teniendo en cuenta el cero y los números negativos en el siglo séptimo. Explicó que, dado un número, si lo restas a sí mismo obtienes el cero. Dio las siguientes reglas para la suma que implicaban al cero:-

La suma de cero y un número negativo, es negativo, la suma de un número positivo y cero es positivo, la suma de cero y cero es cero.

La resta es un poco más compleja:-

Un número negativo restado de cero es positivo, un número positivo restado de cero es negativo, cero restado de un número negativo es negativo, cero restado de un número positivo es positivo, cero restado de cero es cero.

Brahmagupta entonces dice que cualquier número multiplicado por cero es cero pero tiene una dificultad con la división:-

Un número positivo o negativo cuando es dividido por cero es una fracción con cero como denominador. Cero dividido por un número positivo o negativo es o cero o expresado como fracción el cero como numerador y una cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En verdad Brahmagupta está diciendo muy poco cuando sugiere que n dividido por 0 es n/0. Claramente tiene un problema con esto. Ciertamente está equivocado cuando afirma que cero dividido por cero es cero. Sin embargo es un intento brillante por parte de la primera persona que sabemos que intentó extender la aritmética a los números negativos y el cero.

En 830, alrededor de 200 años después de que Brahmagupta escribiese su obra maestra, Mahavira escribió Ganita Sara Samgraha que fue diseñado como una actualización del libro de Brahmagupta. Afirma correctamente que:-

… un número multiplicado por cero es cero, y un número permanece igual si se le resta cero.

Sin embargo sus intentos de mejorar las afirmaciones de Brahmagupta sobre la división por cero parecen llevarle al error. Escribe:-

Un número permanece sin cambio cuando es dividido por cero.

Dado que ésto es claramente incorrecto, mi uso de las palabras “parecen llevarle al error” podrían parecer confusas. La razón de esta frase es que algunos comentarios sobre Mahavira han intentado encontrar excusas para esta afirmación incorrecta.

Bhaskara escribió unos 500 años después de Brahmagupta. A pesar del paso del tiempo aún sigue con problemas para explicar la división por cero. Escribe:-

Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracción cuyo denominador es igual a cero. Esta fracción tiene como valor una cantidad infinita. En esta cantidad en la cual cero es el divisor, no hay alteración aunque se sumen o se resten muchos; así como no tuvieron lugar cambios en el infinito e inmutable Dios cuando se crean o se destruyen los mundos, aunque numerosos órdenes de seres sean absorbidos o creados.

Por tanto, Bhaskara intentó resolver el problema escribiendo que n/0 = ?. A primera vista podríamos estar tentados a pensar que Bhaskara estaba en lo cierto, pero por supuesto no lo estaba. Si fuese cierto, entonces 0 veces ? debe ser igual a cada número n, por tanto todos los número son iguales. Los matemáticos indios no podían llegar al punto de admitir que no se puede dividir por cero. Bhaskara hizo otra afirmación correcta sobre las propiedades del cero, no obstante, como que 0x2 = 0 y que ?0 = 0.

Tal vez deberíamos hacer notar en este punto que hubo otra civilización que desarrolló un sistema numérico de valor por posición con el cero. Fueron los Mayas, que vivieron en América Central, ocupando el área que hoy es el Sur de México, Guatemala, el norte de Belize y partes de Honduras y El Salvador. Ésta fue una antigua civilización que floreció particularmente entre el 250 y 900. Sabemos que sobre el 665 usaron un sistema numérico de valor por posición de base 20 con un símbolo para el cero. Sin embargo, su uso del cero iba más allá de esto y estaba en uso antes de que lo introdujesen en el sistema numérico de valor por posición. Ésto es un notable éxito pero desgraciadamente no influenció a otras culturas.

El brillante trabajo de los matemáticos indios fue transmitido a los matemáticos árabes e islámicos del lejano occidente. Llegó una primera etapa donde al-Khwarizmi escribió Al’Khwarizmi en el arte Hindú del Cálculo en cual describe el sistema numérico indio de valor por posición de cifras basado en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 0. Este trabajo fue el primero en lo que ahora es Irak en usar el cero como marcador de posición en una notación de base posicional. Ibn Ezra, en el siglo XII, escribió tres tratados sobre números que ayudaron a traer los símbolos e ideas indias de las fracciones decimales a la atención de algunos de los estudiantes europeos. El Libro de los Números describe el sistema decimal para enteros con valores de posición de izquierda a derecha. En este trabajo ibn Ezra usa el cero, al que llama galgal (significa rueda o círculo).

Los numerales del tratado de al-Sizji, del 969

Ligeramente más tarde, en el siglo XII, al-Samawal escribió:-

Si restamos un número positivo de cero permanece el mismo número negativo… si restamos un número negativo de cero nos queda el mismo número positivo.

Las ideas ideas se dispersaron hacia el Este, a China, así como al Oeste a los países islámicos. En 1247 el matemático chino Ch’in Chiu-Shao escribió Tratado matemático en nueve secciones en el cual usa el símbolo O para el cero. Un poco más tarde, en 1303, Zhu Shijie escribió El espejo de Jade de los cuatro elementos en el cual usa de nuevo el símbolo O para el cero.

Fibonacci fue una de las principales personas en traer estas nuevas ideas sobre sistemas numéricos a Europa. Como los autores [12] escriben:-

Un importante nexo entre el sistema numérico Arábico-Hindú y el los matemáticos europeos es el matemático italiano Fibonacci.

En el Liber Abaci describe los nueve símbolos indios junto con el signo 0 para los europeos alrededor del año 1200 pero no fue usado ampliamente hasta bastante tiempo después. Es significativo que Fibonacci no fue lo bastante audaz como para tratar el 0 de la misma forma que al resto de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dado que habla de la “marca” cero mientras que al resto de símbolos los llama números. Aunque traer los números indios a Europa fue claramente de una gran importancia podemos ver en su tratamiento del cero que no alcanzó la misma sofisticación que los indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara ni la de los matemáticos árabes e islámicos como al-Samawal.

Se podría pensar que el progreso de los sistemas numéricos en general, y del cero en particular, se habría estancado desde ese momento. Sin embargo, nada más lejos de la realidad. Cardan resolvió ecuaciones cúbicas y cuárticas sin usar el cero. Habría encontrado su trabajo mucho más sencillo en el 1500 si hubiese tenido el cero pero este no era parte de sus matemáticas. En el año 1600 el cero comenzó a extenderse pero solo tras encontrar mucho resistencia.

Por supuesto aún hay signos de los problemas causados por el cero. Recientemente mucha gente de todo el mundo celebró el nuevo milenio el 1 de Enero de 2000. Por supuesto celebraron el paso de solo 1999 años, dado que el calendario no tienen ningún año cero especificado. Aunque se podría olvidar el error original, es un tanto sorprendente que la mayoría de la gente sea incapaz de comprender por qué el tercer milenio y el siglo XXI comenzaron el 1 de Enero de 2001. ¡El cero continua causando problemas!


*: Nota del Traductor — Un hasta equivale a aproximadamente 2 metros

Autores: J J O’Connor y E F Robertson

Bibliografía

Libros:
1. R Calinger, A conceptual history of mathematics (Upper Straddle River, N. J., 1999).
2. G Ifrah, From one to zero : A universal history of numbers (New York, 1987).
3. G Ifrah, A universal history of numbers : From prehistory to the invention of the computer (London, 1998).
4. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
5. R Kaplan, The nothing that is : a natural history of zero (London, 1999).
6. R Mukherjee, Discovery of zero and its impact on Indian mathematics (Calcutta, 1991).

Artículos:
7. S Giuntini, A discussion concerning the nature of zero and the relation between imaginary and real numbers (Italian), Boll. Storia Sci. Mat. 4 (1) (1984), 25-63.
8. R C Gupta, Who invented the zero?, Ganita-Bharati 17 (1-4) (1995), 45-61.
9. P Mäder, ‘Wie die Puppe ein Adler sein wollte, der Esel ein Löwe, die Äffin eine Königin – so wollte die Null eine Ziffer sein!’ Ein Überblick zur Geschichte der Zahl Null, in Jahrbuch Überblicke Mathematik, 1995 (Braunschweig, 1995), 39-64.
10. R N Mukherjee, Background to the discovery of the symbol for zero, in Proceedings of the Symposium on the 1500th Birth Anniversary of Aryabhata I, New Delhi, 1976, Indian J. Hist. Sci. 12 (2) (1977), 225-231.
11. K Muroi, The expressions of zero and of squaring in the Babylonian mathematical text VAT 7537, Historia Sci. (2) 1 (1) (1991), 59-62.
12. L Pogliani, M Randic and N Trinajstic, Much ado about nothing – an introductive inquiry about zero, Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 29 (5) (1998),729–744.
13. S Ursini Legovich, The origin of the zero in Central American civilization. Comparative analysis with the Hindu case (Spanish), Mat. Enseñanza No. 13 (1980), 7-20.
14. M Ja Vygodskii, L’origine du signe de zéro dans la numération babylonienne (Russian), Istor.-Mat. Issled. 12 (1959), 393-420.

Kepler: Una búsqueda de planetas habitables

Visión artística de Kepler
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Kepler, una misión de descubrimiento de la NASA, es un telescopio de operación espacial diseñado para la búsqueda de planetas similares a la Tierra en estrellas más allá de nuestro Sistema Solar.

“La Misión Kepler hará, por primera vez, posible para los humanos buscar en nuestra galaxia planetas del tamaño de la Tierra o incluso menores”, dijo el investigador principal William Borucki del Centro de Investigación Ames de la NASA en Moffett Field, California. “Con esta tecnología punta, Kepler puede ayudarnos a contestar una de las más antiguas preguntas que los humanos se han hecho a través de la historia: ¿existen otros como nosotros en el Universo?”.

Kepler detectará planetas de forma indirecta, usando el método del tránsito. Un tránsito ocurre cada vez que un planeta atraviesa la línea de visión entre la estrella central a la que orbita el planeta y el observador. Cuando esto sucede, el planeta bloquea parte de la luz de su estrella, dando como resultado un oscurecimiento periódico. Esta señal periódica es usada para detectar al planeta y determinar su tamaño y órbita.

Tres tránsitos de una estrella, todos con un periodo, un cambio de brillo y una duración consistentes, proveen un método robusto de detección y confirmación de planetas. La medición de la órbita del planeta y las propiedades conocidas de la estrella central son usadas para determinar si cada planeta descubierto se encuentra en la zona habitable; esto es, la distancia a partir de la estrella donde el agua líquida podría existir en la superficie del planeta.

El socio industrial para el desarrollo del hardware es Ball Aerospace & Technologies Corp., con base en Boulder, Colorado. La misión está dirigida por el JPL de la NASA.

Programado para lanzarse en 2008, Kepler buscará planetas usando un telescopio especializado, llamado fotómetro de un metro de diámetro, que mide los pequeños cambios de brillo provocados por los tránsitos.

La tecnología clave en el centro del fotómetro es un conjunto de dispositivos de cargas acopladas (en inglés Charged Coupled Devices, o CCD por sus siglas) que miden el brillo de cientos de miles de estrellas al mismo tiempo. Los CCDs son los chips de silicio fotosensibles que usamos cada día en cámaras de televisión, cámaras de video y cámaras digitales. Kepler debe monitorizar miles de estrellas simultáneamente, debido a que la posibilidad de que algún planeta esté alineado a lo largo de nuestra línea de visión es solo del 50% aproximadamente.

Durante un periodo de cuatro años, Kepler observará continuamente una porción de cielo más o menos igual al tamaño de una mano humana elevada con el brazo extendido o aproximadamente igual en área a dos “cucharadas”(*) de cielo tomadas de la constelación de la Osa MAyor Gran Cazo. En comparación, el Telescopio Espacial Hubble puede ver sólo una porción de cielo igual a un grano de arena sostenido en la mano con el brazo extendido, y además sólo durante alrededor de media hora cada vez.

NASA seleccionó a Kepler como una de las dos misiones de descubrimiento entre las 26 propuestas realizadas a principios de 2001. La misión debe mantenerse en el límite de coste de desarrollo de un Programa de Descubrimiento, sobre los 299 millones de dólares. El Programa de Descubrimiento hace hincapié en menores costes, especialmente centrado en misiones científicas.



(*) N. del T: La constelación de la Osa Mayor, en ingles Gran Cazo, de ahí las “cucharadas”.
Fecha original : 2006-01-01

Vadeando en aguas marcianas

La vista de gran angular del casco polar Norte se tomó en 13 de marzo de 1999, durante el comienzo del verano en el norte. Las superficies de un tono más luminoso son residuos de agua congelada que permanecen durante la estación de verano. Las bandas circulares cercanas de material oscuro que rodea el polo consta principalmente de dunas de arena formadas y modeladas por el viento. Crédito: NASA/JPL/Malin Space Science Systems

La nave Mars Express de la Agencia Espacial Europea ha estado orbitando Marte durante más de un año. Aunque las imágenes de alta resolución de los numerosos cráteres y volcanes del planeta, y otras características obtuvieron la mayor relevancia, los siete instrumentos de la nave también han acumulado grandes cantidades de datos sobre la atmósfera del planeta, geología y química. Bernard Foing, Científico Jefe de la ESA, nos da una visión de los descubrimientos más notables hechos por el primer viaje europeo al Planeta Rojo. En la primera parte de este repaso, Foing navega a través de las pruebas de agua líquida en Marte.

Marte es el hermano pequeño de la Tierra, con distintos procesos trabajando a diferentes escalas.

Al igual que la Tierra, Marte tiene tectónica, volcánica, erosión, y una atmósfera. Podemos estudiar el ciclo del agua en Marte – el agua puede presentarse como hielo, sabemos que está en la atmósfera, y que existió en estado líquido. Hay evidencias de que hubo agua líquida en la superficie de Marte en los primeros mil millones de años de su historia.

Aunque la Tierra y Marte se formaron a partir de los mismos materiales, los dos planetas evolucionaron de formas distintas. El agua de la atmósfera de Marte pudo haberse disipado muy pronto y, por lo tanto, Marte se volvió frío y seco tras estos primeros mil millones de años.

Una señal de esta temprana pérdida de agua viene de cómo interactúa la atmósfera marciana con el viento solar. Un experimento de la Mars Express muestra que esta interacción es la causa de que Marte pierda 100 toneladas de su atmósfera cada día. La Tierra también pierde parte de su atmósfera cada día hacia el espacio, pero la Tierra tiene un escudo magnético. La magnetosfera de la Tierra impide que las partículas del viento solar impacten en la Tierra, y por esta razón, no expulsamos tanta cantidad de nuestra atmósfera.

Si se hubiese extendido un océano sobre Marte hace 3500 millones de años, podría haber permitido al planeta mantener una atmósfera densa. El efecto invernadero en Marte habría mantenido el agua estable en la superficie. Pero tras la pronta desaparición del propio campo magnético de Marte, la atmósfera comenzó a desaparecer debido a la interacción con el viento solar, y esto aceleró drásticamente la pérdida de agua.

La gran antena de MARSIS volará sobre Marte, haciendo rebotar ondas de radio sobre un área seleccionada y recibiendo y analizando los ecos. Cualquier superficie cercana al agua líquida debería enviar una señal más fuerte. Crédito: NASA/JPL

Hoy día, la presión atmosférica en Marte es muy baja, unas cien veces menor que en la Tierra. En esta baja presión, el agua de la superficie se evapora, y el hielo se sublima – pasa directamente de sólido a gas. Pero algunas características de la acción de los ríos que vemos aquí y en la superficie de Marte sugieren que ha habido algunos episodios esporádicos en los que el agua líquida fluía en la superficie.

Una forma de determinar si hubo un océano tras los primeros mil millones de años es buscar minerales como carbonatos. El instrumento infrarrojo OMEGA de Mars Express puede mirar la firma de los minerales. El equipo OMEGA busca extensivamente carbonatos, pero no pudieron encontrar ninguno. Por tanto tal vez no hubo un océano en los últimos 3000 millones de años. O, si lo hubo, las rocas que dejó han sido cubiertas por otras capas de tierra. Esto es algo que aún tenemos que comprender.

Ésto no debe ser interpretado como que no hay nada agua en Marte hoy. Hay agua helada en los casquetes polares, y pensamos que vemos la acumulación de hielo en los trópicos y el ecuador. Por ejemplo, hay depósitos de agua helada en altas montañas en el ecuador – es algo similar a la capa de nieve del Monte Kilimanjaro.

Entrando en erupción hace 5 millones de años, a través de una serie de fracturas conocidas como Cerberus Fossae, el agua fluyó en una catastrófica inundación, reuniéndose en un área de 800 x 900 km y teniendo inicialmente una profundidad media de 45 metros. Click aquí para agrandar la imagen. Crédito: ESA/Mars Express

La transferencia de hielo de los polos al ecuador parece tener lugar en un ciclo de 5 millones de años. Hemos encontrado algunas características que sugieren que hace 5 millones de años, había una reserva de hielo cerca del Monte Olimpo, el mayor volcán de Marte, y también cerca de Elysium, otro gran volcán.

Creemos que tenemos evidencias de actividad volcánica reciente en Marte. Por lo que estos dos descubrimientos – actividad volcánica reciente y agua helada reciente – significan que había algunas épocas en las que podía haberse producido deshielo de agua, no solo en la superficie, sino también en el subsuelo. Este agua subterránea fundida podría salir de nuevo a la superficie, y reunirse en bajas altitudes.

Parece que hemos encontrado un lugar donde, hace 5 millones de años, parte de este agua fundida se ha depositado como un espejo de hielo muy liso. Las imágenes estéreo 3-D de Mars Express muestran que este mar helado es extremadamente liso – con una inclinación de solo 5 miligrados. Es más liso que una mesa.

Se ha sugerido que este mar helado no es nada más que lava fluida solidificada, pero esta lava fluida tiende a estar más abultada.

Pensamos que el lago se depositó y entonces fue cubierto con una capa de cenizas, la cual, justo después de que el agua se congelase, impidió que el hielo se sublimara a la tenue atmósfera. Este mar helado tiene aproximadamente el tamaño del Mar del Norte, con una profundidad de 50 metros. Entonces hubo algún tipo de movimiento en el mar líquido donde la capa de hielo comenzó a fragmentarse y producir balsas de hielo.

Este área tiene un enorme potencial para la astrobiología y la exploración futura. Pero aún necesitamos conocer qué cantidad de hielo se ha preservado, y qué cantidad ha sido capaz de sublimarse a través de la capa de cenizas. También necesitamos conocer el grosor de la capa de ceniza que lo recubre.

El instrumento MARSIS de Mars Express tendrá la capacidad de investigar bajo la superficie, a unos pocos kilómetros bajo la superficie. Dado que el agua líquida da una señal de radar muy potente, podríamos ser capaces de obtener un perfil vertical de la cantidad de hielo y agua que hay en total en el subsuelo de Marte.

Debido a que MARSIS fue diseñada para penetrar muy profundamente bajo la superficie, no podremos resolver las capas muy delgadas. Por lo que si las capas de hielo tienen solo unos pocos metros o pocas decenas de metros de grosor, MARSIS podría no verlas. Pero en Orbitador de Reconocimiento de Marte de la NASA, que será enviado este año, tendrá un radar que puede sondear la superficie cercana. Por lo que será una buena forma de probar nuestro mar helado.


Fecha original : 2005-06-01

¿El punto brillante de Titán está caliente?

El inusual punto brillante ofrece el misterio de Titán. Crédito: NASA/JPL

La luna de Saturno Titán muestra un punto brillante poco usual que ha desconcertado a los científicos. El punto, de aproximadamente el tamaño y forma de Virginia Oeste, está justo al Sureste de la región brillante llamada Xanadú y es visible a múltiples instrumentos de la nave Cassini. La región de una anchura de 483 kilómetros puede ser un “punto caliente” – un área posiblemente calentada por el impacto reciente de un meteorito o por una mezcla de agua helada y amoniaco de un interior cálido, que rezuma al exterior a través de un volcán de hielo sobre la tierra más fría de alrededor. Otras posibilidades para este inusual punto brillante incluyen características del paisaje, la participación de nubes en el lugar o materiales poco usuales en la superficie.

“A primera vista, pensé que la característica parecía extraña, casi como fuera de lugar”, dice el Dr. Robert H. Brown, líder del equipo del espectrómetro de cartografiado visual e infrarrojo de Cassini y profesor del Laboratorio Planetario y Lunar, Universidad de Arizona, Tucson. “Tras pensarlo un poco, especulé que era un punto caliente. Restrospectivamente, esta podría no ser la mejor hipótesis. Pero el punto no es menos intrigante”.

Carolyn Porco, líder del equipo de cámaras. Titán no es como Marte y las lunas heladas de Júpiter, que tienen poca o ninguna atmósfera. Por lo que las “técnicas que hemos usado para interpretar cuerpos sin aire, todos estos métodos para examinar superficies sólidas desde naves planetarias que hemos aprendido durante el último medio siglo”, no podemos aplicarlas, dice Porco. “No podemos usarlas en Titán, ya que es un entorno muy distinto”. Crédito de la imagen: NASA/JPL

La nave Cassini voló sobre Titán el 31 de marzo y el 16 de abril. Su espectrómetro de cartografiado visual e infrarrojo, usando las más grandes y rojas longitudes de onda que podía usar, observó el punto, el área más brillante jamás observada en Titán.

Las cámaras de imagen de Cassini vieron un brillante semicírculo de 550 kilómetros de ancho en longitudes de onda visibles en esta misma localización en las pasadas sobre Titán de Cassini de diciembre de 2004 y febrero de 2005. “Parece claro que ambos instrumentos están detectando la misma característica básica controlada de la superficie de Titán”, dice el Dr. Alfred S. McEwen, Científico del equipo de cámaras, también de la Universidad de Arizona. “Esta mancha brillante puede ser debida al acontecimiento de un impacto, corrimiento de tierras, criovulcanismo o procesos atmosféricos. Su distinto color y brillo sugieren que se ha formado relativamente hace poco tiempo”.

Se han visto otros puntos brillantes en Titán, pero todos han sido rasgos transitorios que se movían o desaparecían en horas, y tenían diferentes propiedades espectrales (color) que esta característica. Este punto es persistente en ambos, color y localización.

¿Las características de la superficie sugieren alguna actividad tectónica?. Click aquí para agrandar la imagen. Crédito: ESA

“Es posible que el espectrómetro visual e infrarrojo esté viendo una nube que esté controlada topográficamente por algo de la superficie, y que esta extraña característica semicircular esté causando esta nube”, dice la Dr. Elizabeth Turtle, socia del equipo de cámaras de Cassini, también del Laboratorio Planetario y Lunar. El equipo de cámaras de Cassini está encabezado por Carolyn Porco del Instituto de Ciencia Espacial en Boulder, Colorado. Porco es también profesora adjunta de la Universidad de Arizona de ciencias planetarias.

“Si el punto es una nube, entonces su longevidad y estabilidad implican que está controlado por la superficie. Tal nube podría ser el resultado de corrientes de aire que cruzan montañas bajas o escapes de gas provocados por actividad geológica”, dice Jason Barnes, un investigador post-doctoral que trabaja con el equipo del espectrómetro de cartografiado visual e infrarrojo en la Universidad de Arizona.

El punto podría estar reflejando la luz de una mancha de terreno hecho de algún material exótico de superficie. “La superficie de Titán parece ser en su mayor parte hielo sucio. El punto brillante puede ser una región con una composición de superficie distinta, o tal vez una delgada superficie de depósitos de material no helado”, añade Barnes.

Los científicos también han tenido en cuenta que el punto pueda ser montañas. Si es así, tendrían que ser mucho más altas que las colinas de 100 metros que el altímetro de radas de Cassini ha visto hasta ahora. Los científicos dudan que la corteza de Titán pueda dan soporte a estas altas montañas.

El equipo del espectrómetro de cartografiado visual e infrarrojo será capaz de probar la hipótesis del punto caliente en la pasada sobre Titán del 2 de julio de 2006, cuando tomen imágenes nocturnas del mismo área. Si el punto brilla durante la noche, los investigadores sabrán que está caliente.



Escucha los sonidos de los micrófonos a bordo de Huygens durante su descenso (ficheros en formato WAV,aproximadamente 600 kB cada uno):

Fecha original: 2005-06-01

Titán contra la Tierra

Los científicos están asombrados por las imágenes que parecen ser complejas formas terrestres. Pulsa aquí para agrandar la imagen. Crédito de la imagen: NASA/JPL

Las observaciones de la atmósfera de Titán ofrecen una visión única de cómo se puede comparar la gigante luna de Saturno a la Tierra.

Titán es la única luna del Sistema Solar con una atmósfera abundante. Como la Tierra, la atmósfera de Titán está compuesta principalmente de nitrógeno, pero al contrario de la Tierra, uno de los contituyentes más abundantes es el metano (CH4). Los datos procedentes de la sonda Huygens de la Agencia Espacial Europea, que descendió en paracaidas a través de la oscura atmósfera de Titán en enero, determinarán si la cantidad de argón supera a la de metano. El metano, componente principal del gas natural, juega un papel primordial en la composición de las condiciones atmosféricas de Titán.

La química orgánica que tiene lugar en la atmófera de Titán es una analogía de los procesos que pudieron tener lugar en la atmósfera terrestre primigenia.

Titán cambia su cara cuando las manchas oscuras y claras rotan en su circulación. Crédito de la Imagen: JPL/Space Science Institute

La investigación apareció en la edición del 13 de Mayo de la revista Science.

Usando un espectrómetro de infrarrojos de la nave internacional Cassini-Huygens, los investigadores han medido la temperatura, vientos y composición química de Titán.

Edward Wishnow del Laboratorio Nacional Lawrence participó en la investigación midiendo el espectro del metano en el laboratorio a temperaturas y densidades similares a las de Titán – unos 113 grados Kelvin y más o menos una atmófera de presión. Las medidas se tomaron con un único espectrómetro y una célula de absorción de gas criogénico en colaboración con H. Gush y I. Ozier de la Universidad de British Columbia y G. Orton del Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA.

“El espectro de Titán muestra delgadas líneas de emisión que se elevan debido al metano de la estratosfera que está más caliente que las más densas capas atmosféricas subyacentes”, dice Wishnow. La correspondencia entre los espectros de Titán y del laboratorio son obvios y la fuerza de las líneas del laboratorio se usa para determinar la abundancia de metano en la atmósfera superior de Titán.

Atmósfera de Titán comparada con la de la Tierra. Crédito de la Imagen: JPL/Space Science Institute

El Espectrómetro de Infrarrojos Compuesto de Cassini (CIRS) es un instrumento de infrarrojos que mide la intensidad de la luz lejana – radiación infrarroja – con longitudes de onda entre las de un radar y cercanas a la luz infrarroja. Estas longitudes de onda están asociadas con las emisiones de radiación de los gases que conforman la atmósfera de Titán.

Otros investigadores del proyecto descubrieron que Titán muestra cambios estacionales en sus temperaturas estratosféricas y vientos similares a los de la Tierra.

“Parte del regocijo de nuestra exploración científica viene de la comprensión de cómo de parecidos son la Tierra y Titán y cómo de diferentes”, dijo en investigador principal de CIRS F. Michael Flasar del Centro de Vuelo Espacial NASA/Goddard. “Las observaciones de CIRS sobre la estratosfera de Titán indican que su invierno (en el norte) polar tiene muchas propiedades comunes a las de la Tierra: temperaturas frías, fuertes vientos circumpolares y concentraciones anómalas de algunos componentes (en Titán, moléculas orgánicas) que recuerdan las condiciones de las regiones polares invernales de la Tierra, los llamados agujeros de ozono. En ambos casos el ingrediente esencial son los fuertes vientos, los cuales asolan el aire polar e impiden su mezcla con los de latitudes más bajas”.



Escucha los sonidos de los micrófonos a bordo de Huygens durante su descenso (ficheros en formato WAV,aproximadamente 600 kB cada uno):

Fecha original : 2005-05-31

Claves para modelar planetas

El Buscador de Planetas Terrestres buscará planetas similares a la Tierra orbitando 250 de las estrellas más cercanas. Crédito: NASA

Las medidas más detalladas tomadas hasta la fecha de los discos de polvo que rodean las jóvenes estrellas confirman una nueva teoría, la región donde se forman planetas rocosos como la Tierra está mucho más lejos de la estrella de lo que se pensaba originalmente.

Estas primeras medidas definitivas de las zonas de formación de planetas ofrecen importantes claves para las condiciones iniciales que dan el nacimiento de planetas. Comprender la formación planetaria es clave para comprender el origen de la Tierra, que es un aún un misterioso proceso, dijo John Monnier, profesor asistente de astronomía en la Universidad de Michigan y principal autor del artículo, “Las relaciones de luminosidad de tamaño cercano al infrarrojo para discos Herbig Ae/Be” en una reciente edición de Astrophysical Journal.

Las estrellas muy jóvenes están rodeadas de un grueso disco rotante de gas y polvo, el cual se espera que desaparezca finalmente ya que cuando el material es empujado hacia la estrella, es arrancado del disco, o reunido en trozos mayores de escombros. Esta transición marca el salto de la formación estelar a la planetaria.

Combinando la luz de los telescopios gemelos gigantes de Mauna Kea. Crédito: Observatorio de Keck

Los científicos examinaron la región más interna de tales discos donde la energía de la estrella calienta el polvo a temperaturas extremadamente altas. En estos discos de polvo es donde están las semillas para la formación de planetas, donde las partículas de polvo se unen y finalmente crecen a masas mayores.

Sin embargo, si la órbita del polvo se acerca demasiado a la estrella, se evapora, eliminando cualquier esperanza de formación planetaria. Es importante saber dónde comienza la evaporación ya que es un efecto vital es la formación de planetas, dice Monnier. La temperatura inicial y densidad del polvo que rodea las estrella jóvenes son ingredientes críticos para los modelos por ordenador de formación planetaria.

Para este estudio, los científicos miraron estrellas jóvenes que tenían aproximadamente entre una y una vez y media la masa del Sol. “Podemos estudiar estas estrellas más en profundidad ya que son más brillantes y fáciles de ver”, dice Monnier.

HD 28185 b fue el primer exoplaneta descubierto con una órbita circular dentro de la zona habitable de la estrella. Crédito: STScI Digitized Sky Survey

En la última década más o menos, nuestras creencias sobre los sistemas que construyen planetas han cambiado de forma drástica con la llegada de observatorios más potentes que permiten tomar medidas más precisas, dice Monnier.

Encontraron que las medidas que se creían precisas eran en realidad muy distintas de lo que se pensaba originalmente.

Para este trabajo, los científicos usaron los dos telescopios mayores del mundo unidos para formar el Interferómetro de Keck. Este dúo ultrapotente funciona como la última lente amplificadora permitiendo a los astrónomos tratar de ver en las guarderías planetarias con diez veces más detalles que el Telescopio Espacial Hubble. Combinando la luz de los dos telescopios de Keck, los investigadores son capaces de alcanzar las capacidades de un telescopio simple que abarque un campo de fútbol, pero con una fracción de su coste, dice Monnier.


Fecha original : 2005-05-31

Bombardeados por misterios

La diminuta Tierra, un planeta que podría ocultarse con el pulgar de un astronauta lunar. Crédito: NASA

Personas de todas las culturas han quedado fascinadas por las “manchas” oscuras de la Luna, las cuales parecen formas las figuras de un conejo, ranas, o la cara de un payaso. Con las misiones Apolo, los científicos descubrieron que estas características eran en realidad enormes cuencas de impacto que se llenaron de lava solidificada. Una sorpresa fue que estas cuencas se formaron relativamente tarde en la historia del joven Sistema Solar — aproximadamente 700 millones de años tras la formación de la Tierra y la Luna. Muchos científicos piensan ahora que estas cuencas de impacto dan fe de un enorme pico en la tasa de bombardeo de los planetas – llamado el último gran bombardeo (LHB por sus siglas en inglés). La causa de este intenso bombardeo, sin embargo, está considerada como uno de los misterios mejor preservados de la historia del Sistema Solar.

En una serie de tres artículos publicados en el número de esta semana de la revista Nature, un equipo internacional de científicos planetarios, Rodney Gomes (Observatorio Nacional de Brasil), Harold Levison (Instituto de Investigación del Suroeste, Estados Unidos), Alessandro Morbidelli (Observatorio de la Costa Azul, Francia) y Kleomenis Tsiganis (OCA y Universidad de Tesalónica, Grecia) – unidos por un programa de visitantes cuyo anfitrión era el Observatorio de la Costa Azul en Niza – propusieron un modelo que no solo resuelve de forma natural el misterio del origen del LHB, sino que también explica muchas de las características observadas del extremo del sistema planetario.

La misión lunar Clementine nos mostró el Polo Sur de la Luna. La región central en sombra permanente mostró evidencias anteriores de cráteres de meteoros y de hielo nunca expuesto a la luz solar directa. Crédito: NASA/DOD Clementine

Este nuevo modelo imagina que los cuatro planetas gigantes, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, se formaron en una configuración orbital compacta, la cual estaba rodeada por un disco de pequeños objetos hechos de hielo y roca (comocidos como “planetésimos”). Las simulaciones numéricas del equipo de Niza muestran que algunos de esos planetésimos escaparon lentamente del disco debido a los efectos gravitatorios de los planetas. Los planetas dispersaron estos pequeños objetos a través del Sistema Solar, a veces hacia el exterior y a veces al interior.

“Como nos enseñó Isaac Newton, para cada acción existe una reacción igual y opuesta”, dice Tsiganis. “Si un planeta arroja un planetésimo fuera del Sistema Solar, el planeta se mueve hacia el Sol, solo un poquito, como compensación. Si, por otra parte, el planeta dispersa el planetésimo hacia el interior, el planeta salta ligeramente más lejos del Sol”.

Las simulaciones numéricas muestran que, de media, Júpiter se movió hacia el interior mientras que los demás planetas gigantes se movieron hacia fuera.

Inicialmente, éste fue un proceso muy lento, llevando a los planetas millones de año moverse un poco. Entonces, de acuerdo con este nuevo modelo, tras 700 millones de años, la sitacuión cambió repentinamente. En este momento, Saturno migró al punto donde su periodo orbital era exactamente el doble que el de Júpiter. Esta configuración orbital tan especial causó que las órbitas de Júpiter y Saturno se hicieran repentinamente más elípticas.

“Ésto causó que las órbitas de Urano y Neptuno se volviesen locas”, dice Gomes. “Sus órbitas se transformaron en unas muy excéntricas y empezaron a dispersar gravitatoriamente a las demás – y Saturno también”.

El equipo de Niza argumenta que esta evolución de las órbitas de Urano y Neptuno causó el LHB sobre la Luna. Sus simulaciones por ordenador muestran que estos planetas penetraron muy rápidamente en el disco de planetésimos, dispersando objetos a través de todo el Sistema Solar. Muchos de estos objetos entraron en el interior del Sistema Solar donde salpicaron la Tierra y la Luna con impactos. Además, el proceso completo desestabilizó la órbita de asteroides, los cuales también habrían contribuido al LHB. Por último, el efecto gravitatorio del disco de planetésimos provocó la evolución de Urano y Neptuno a sus órbitas actuales.

“Es muy convincente”, dice Levison. “Hemos realizado unas docenas de simulaciones de este proceso, y estadísticamente los planetas terminaron en órbitas muy similares a las que podemos ver, con las correctas separaciones, excentricidades e inclinaciones. Por lo que, además del LHB, podemos explicar también las órbitas de los planetas gigantes. Ningún otro modelo había conseguido tal cosa antes”.

Hora y media más tarde del Impacto Gigante, basado en el modelo por ordenador de A. Cameron, W. Benz, J. Melosh, y otros. Copyright William K. Hartmann

Sin embargo, hay un obstáculo más que superar. El Sistema Solar contiene actualmente una población de asteroides que siguen esencialmente la misma órbita que Júpiter, pero preceden o siguen al planeta en una distancia angular de más o menos 60 grados. Las simulaciones por ordenador muestran que estos cuerpos, conocidos como “asteroides Troyanos”, se habrian perdido cuando los planetas gigantes cambiaron sus órbitas.

“Estuvimos varios meses preocupados por este problema, que parecía invalidar nuestro modelo”, dice Morbidelli, “hasta que nos dimos cuenta de que si un pájaro escapa de una jaula abierta, otro puede entrar y anidar en ella”.

El equipo de Niza encontró que algunos de los muchos objetos que estaban manejando en la evolución planetaria, y los cuales causaron el LHB, también habrían sido capturados en las órbitas de los asteroides Troyanos. En las simulaciones, los Troyanos atrapados dieron como resultado la distribución orbital de los Troyanos observados, lo cual estaba hasta ahora sin explicación. La masa total pronosticada para los objetos atrapados era también consistente con la población observada.

Tomado globalmente, el nuevo modelo del equipo de Niza explica de forma natural las órbitas de los planetas gigantes, los asteroides Troyanos y el LHB con una precisión sin precedentes. “Nuestro modelo explica muchas cosas que creemos que deben ser básicamente correctas”, dice Mordibelli. “La estructura del Systema Solar exterior muestra que los planetas probablemente tuvieron movimientos después de que terminase la formación de los planetas”.


Fecha original : 2005-05-27

Catálogo Charles Messier: Objeto M 108

Galaxia Espiral M 108 (NGC 3556), tipo Sc, en Ursa Major

Descubierta por Pierre Méchain en 1781.

Galaxia Espiral M 108 (NGC 3556), tipo Sc, en Ursa Major

De acuerdo con el manuscrito preliminar de Charles Messier y versión no publicada de su catálogo, M 108, al igual que M 109, fue descubierta por Pierre Méchain poco después de M 97 (la cual se encontró el 16 de Febrero de 1781): Méchain descubrió M 108 tres días más tarde de M 97 el 19 de Febrero de 1781, y M 109 el 12 de marzo de 1781. Ambos objetos parece que fueron también observados por Charles Messier cuando medía la posición de M 97 (14 de marzo de 1781), pero aparentemente no encontró el momento propicio para obtener la posición de esos objetos en aquel momento. Messier listó este objeto, M 108, bajo el número “98” en su manuscrito, versión preliminar de su catálogo, sin asignarle una posición. De acuerdo con Owen Gingerich, midió una posición precisa un tiempo más tarde la cual fue añadida manualmente en su copia personal del catálogo. Amos objetos, M 108 y M 109 también son mencionados en la carta de Pierre Méchain del 6 de mayo de 1783, la cual apoya la sospecha de que probablemente quería añadirlas en una edición posterior del catálogo de Messier. El objeto M 108 fue añadido finalmente al catálogo de Messier por Owen Gingerich en 1953.

Como el descubrimiento de M 108 no había sido publicado, William Herschel redescubrió independientemente este objeto el 17 de Abril de 1789, y lo catalogó como H V.46.

El borde cercano de la galaxia M 108 parece no tener ninguna protuberancia ni ningún núcleo pronunciado, es sólo un disco moteado rico en detalles con un gran oscurecimiento a lo largo del eje mayor, con unas pocas regiones H II y cúmulos de estrellas jóvenes expuestos contra el fondo caótico – en dos palabras: ‘Muy Sucio’. Hay pequeñas evidencias de un patrón espiral bien definido es esta galaxia de tipo Sc, la cual se aleja a 772 km/sec. De acuerdo con Brent Tully, está a unos 45 millones de años luz de distancia, y es miembro de la nube de Ursa Major, una disperso racimo de galaxias. Tully clasifica esta galaxia como SBcd, es decir Sc muy tardía y barrada; el presente autor no puede encontrar evidencias sobre esto a partir de las imágenes conocidas.
La supernova de tipo II 1969B tuvo lugar en M 108 y alcanzó la magnitud 13,9 el 23 de Enero de 1969.

M 108 es bastante sencilla para los aficionados, más sencillo de lo que implican los valores publicados de su brillo (excepción: Don Machholz estima una mag 9,4). La descripción más acertada, en la opinión del presente autor, es la de John Mallas: “una belleza blanca plateada, con forma de plato y muy bien definida” con algo de brillo e irregularidades en la región central, rodeada por “ligeros y oscuros nódulos”. Es un objeto muy alargado con una dimensión angular de 8×1. ¡Es en realidad sorprendente la cantidad de detalles que pueden verse en esta galaxia con un pequeño instrumento! Las fotografías a color muestran un aspecto incluso más visible de lo que debería, la cual a veces aparece en fotografías de campo abierto del espacio profundo junto a la nebulosa Owl M 97, la cual se encuentra a solo 48′ al Sureste.

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