La relatividad pudo ser derivada sin cálculo hace siglos

Galileo descubrió la “Relatividad Galileana”. Tenía las herramientas que también le permitían – en teoría – descubrir la Relatividad de Einstein. (Retrato original de Galileo pintado por Justus Sustermans en 1636.)

Después de que Einstein desarrollase sus teorías de la relatividad especial y general, en 1905 y 1916, respectivamente, el mundo de la física cambió drásticamente. Las teorías, con sus ideas vanguardistas sobre el espacio y el tiempo, ayudaron a los científicos del siglo XX a descubrir los secretos del átomo y a desatar la potencia de la energía nuclear.

La Relatividad de Einstein parece ser un avance moderno: había derivado sus teorías de ideas y matemáticas que eran nuevas en esa época. Las transformaciones de Lorentz habían sido descubiertas en 1895, y él derivó una nueva ley de la suma de velocidades usando el cálculo (ambos conceptos describen cómo los observadores de distintos marcos de referencia se perciben entre sí). Además, Einstein basó sus teorías en la suposición de que la velocidad de la luz, c, es constante, y usó experimentos gedanken (“mentales”) que involucraban rayos de luz para llegar a sus conclusiones.

Ahora Joel Gannett, científico en el Área de Investigación Aplicada de Telcordia Technologies en Red Bank, Nueva Jersey, ha encontrado que Einstein no tuvo que hacer el trabajo por el camino difícil. Un investigador de tecnología de red óptica, Gannett ha demostrado que las transformaciones de Lorentz y la ley de la suma de velocidades pueden derivarse sin suponer la constancia de la velocidad de la luz, sin experimentos mentales, y sin cálculo. En este caso, la Relatividad Einsteiniana podría haber sido descubierta muchos siglos antes de Einstein.

“La Relatividad Einsteiniana es algo difícil de abarcar con la mente”, dijo Gannett a PhysOrg.com. “No ayudó que el artículo original de 1905 de Einstein, y muchas otras discusiones sobre el tema desde entonces, comenzasen con la suposición en contra de toda intuición de que la velocidad de la luz es constante en todos los marcos inerciales.

“Mi trabajo demuestra que la rareza intrínseca de la Relatividad de Einstein puede derivarse de simples suposiciones intuitivas usando matemáticas simples. Un estudiante de bachillerato sin conocimientos de cálculo podría haber derivado la Relatividad de Einstein. La verdad es que algunas de las matemáticas de mi artículo parecen estar más allá del nivel de bachillerato, pero esto es debido a que estaba demostrando la continuidad de una suposición de finitud. Se podría evitar esta matemática simplemente suponiendo continuidad, un paso lógico que probablemente haría sentir más a gusto a la mayoría de los estudiantes de bachillerato o a los científicos del siglo XVII”.

Gannett no es la primera persona que sugiere que podría existir una vía más simple hacia la relatividad moderna. En 2003, Palash Pal del Instituto Saha de Física Nuclear de Calcuta, India, demostró que las transformaciones de Lorentz podría derivarse sin suponer la constancia de c y sin experimentos mentales; de hecho, los científicos habían apuntado esta posibilidad ya en el año 1910.

Para lograr su derivación, Pal recurrió a que las ideas sobre que el espacio-tiempo es homogéneo e isotrópico. Pal tituló su artículo “Nada más que relatividad”; tras leerlo, Gannett ha llamado a su artículo “Nada más que relatividad, de nuevo”, el cual se publicó en un reciente ejemplar de European Journal of Physics. Sin embargo, Gannett explica que su derivación realmente evita en conjunto el principio de la relatividad – en lugar de esto, supone la idea más simple de reciprocidad.

“El artículo actual podría haberse titulado ‘Nada más que relatividad, y nada de eso’ o tal vez ‘Nada más que reciprocidad”, escribe, enfatizando el punto.

“Uno de los temas que trato en mi artículo es, ¿por qué hacer una suposición tan importante como la relatividad cuando de hecho todo lo que necesitas para la derivación es la reciprocidad?” explica. “No necesito el hecho de que las leyes de la física sean las mismas para ti sobre el tren que acelera y para mi en el andén (es decir, relatividad). Todo lo que necesito es reciprocidad”.

Gannett usa la analogía común del tren para explicar la reciprocidad: “Supón que estás en un tren y yo estoy en el andén despidiéndote. Supón que mido tu velocidad relativa con respecto a mi en 30 mph. Si miras hacia atrás en mi dirección, parecería que yo me muevo alejándome de ti a 30 mph también. Si ambos tuviésemos radares de policía para medir nuestras velocidades relativas con gran precisión, ambos obtendríamos el resultado (digamos, 29,6 mph). Eso es reciprocidad. En presencia de isotropía, lo que es una la mis suposiciones principales, la relatividad implica reciprocidad”.

En lugar de usar el cálculo para derivar las transformaciones del espacio-tiempo, Gannett usó dos conceptos básicos de la topología matemática: densidad y continuidad. Usando estos conceptos, demuestra cómo las coordenadas del espacio-tiempo de uno de los marcos de referencia (por ejemplo, el tren) puede mapearse a las coordenadas del espacio-tiempo de un segundo marco de referencia (por ejemplo, el andén), contando con las longitudes y tiempos distorsionados que tienen lugar a altas velocidades.

El concepto de densidad significa que cualquier número irracional (como el número ?) puede aproximarse con una exactitud arbitraria a través de un número racional (aquellos con un número finito de dígitos o dígitos que se repiten). El segundo concepto, la continuidad, significa que una función mapea puntos “cercanos” con puntos “cercanos”. A partir de estos conceptos deriva una función homogénea lineal, o una matriz, para conectar las coordenadas de los dos marcos de referencia.

Gannett explica que demostrar que el espacio-tiempo es lineal es un punto vital que hay que hacer antes de llegar a la derivación de Pal. También apunta que Einstein pasó por alto este punto importante en su artículo sobre la Relatividad Especial.

“Einstein simplemente afirmó que la homogeneidad (es decir, la uniformidad del espacio y el tiempo) implican claramente linealidad”, dice. “Con el nivel de matemáticas que estaba aplicando en mi artículo, pude fácilmente llegar al punto donde afirmar que se podría aseverar linealidad en un universo mítico donde sólo existieran coordenadas de números racionales, y sólo tuviésemos en cuenta escalas racionales. Pero desde los días de Pitágoras esto no se considera adecuado. Dado que los número irracionales pueden aproximarse a través de los racionales con cualquier grado de precisión que se desee, la continuidad proporciona el vínculo lógico final que te permite afirmar la linealidad del mapeo del espacio-tiempo”.

Finalmente, recurriendo a las ideas del principio cosmológico sobre que el universo es isotrópico y recíproco, Gannett demuestra que se siguen directamente cuatro propiedades básicas de las funciones de mapeo. A partir de este punto, las ecuaciones de Pal terminan derivando las transformaciones de Lorentz y la ley de la suma de velocidades usando sólo álgebra y consideraciones físicas básicas.

¿Qué pasaría si Galileo, en el siglo XVII, hubiese derivado los principios de la relatividad de Einstein? ¿Sería distinta la historia del progreso científico? Gannett no lo cree.

“Si Galileo la hubiese derivado, la navaja de Occam [‘la ley de la simplicidad’] nos habría llevado a descartar la relatividad de Einstein como una curiosidad matemática innecesariamente compleja que no era requerida para solucionar ninguno de los principales temas conocidos en la ciencia del siglo XVII”, predice.

En la época de Einstein, las cosas eran distintas. La mecánica clásica de Newton entró en conflicto con las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo, que datan de 1861. Con las ideas de la Relatividad Especial, que demostraron que la electrodinámica obedecía a la relatividad, Einstein reemplazó el antiguo modelo de espacio-tiempo de la mecánica Newtoniana y resolvió un gran reto de principios del siglo XX.


Cita: Gannett, Joel W. “Nothing but relativity, redux.” European Journal of Physics, 28 (2007) 1145-1150. Autor: Lisa Zyga
Fecha Original: 8 de octubre de 2007
Enlace Original

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Comments (5)

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  4. bpombo

    Me gustaría leer el articulo que publico Gannett, ¿saben si esta en alguna parte en castellano?

  5. El artículo se publicó en una revista de suscripción, con lo que dudo mucho que esté disponible de forma abierta en Internet, menos aún en español.

    En esta dirección puede acceder al texto completo, con un precio de 30$.

    Un saludo

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