Ciencia Kanija

Un famoso profesor de teoría y diseño de circuitos analógicos dijo una vez “todos los modelos son incorrectos”. El diseño analógico es particularmente completo y gratificante, según creo, por esta misma razón. Esas palabras han resonado en mi mente durante muchos momentos en mis recorridos para aprender algo sobre el mundo físico. Tanto si eres un teórico, fenomenólogo, experimentador, o alguna combinación de estos, no puedes escapar de este hecho.

Estoy fascinado por cómo se filtran conceptos de la vida cotidiana en todo el pensamiento científico, ya sea un concepto elemental en ingeniería o dentro de los confines de alguna extraña teoría física. Y espero que este tema me dé mucho para escribir.

Un buen ejemplo donde los modelos son incorrectos es al captar la noción de localidad contra la de no localidad. Uso el término “local” aquí de una forma poco precisa para captar la idea de algo confinado en una región de espacio físico (local) contra algo disperso a través de todo el espacio.

El comportamiento local contra el no local de las cosas físicas se hace particularmente importante cuando se trae a escena la relatividad especial. Entre muchas otras cosas, la relatividad especial nos dice que existe un límite a la propagación física de la información en el universo y que este límite es la velocidad de la luz (aproximadamente 3*10⁸ m/s). Esto genera la cuestión sobre la acción a distancia. En la electrodinámica, la cual es compatible con la relatividad especial, un cambio en el campo electromagnético en un punto no puede actuar inmediatamente en otro punto lejano, sino que la perturbación debe propagarse (a la velocidad de la luz).

Dos ideas cotidianas que expresan localidad contra no localidad podrían ser respectivamente la trayectoria de una bola de billar en una mesa de billar contra la propagación de ondas en el agua.

Las ondas en el agua y todos los fenómenos de ondas tienen una propiedad interesante para la materia – superposición. Las ondas múltiples pueden coexistir una con otra, cada onda quedando distribuida a través de todo el espacio. El efecto agregado de estos múltiples efectos de onda se manifiesta como interferencia. Es decir, en algún punto del espacio, podemos sumar las contribuciones de todas las ondas en nuestro medio de interés y esta suma expresa el efecto neto de las ondas. Esta interferencia puede ocurrir de forma constructiva o destructiva tal y como los picos y valles observables en las ondas de agua comunes.

La gente a menudo habla de la “dualidad de onda y partícula” de la mecánica cuántica. ¿Qué significa esto? Resulta que ni el modelo de la bola de billar ni el modelo de onda son adecuados para captar la esencia de la naturaleza. Los fenómenos físicos que observamos a veces actúan de una forma local similar a partículas (es decir, como bolas de billar), pero en otros contextos de una forma no local similar a una onda que se distribuye a través de todo el espacio.

El resultado de esto es que las cosas a las que llamamos partículas, en las que pensamos como de naturaleza local tales como electrones, protones y demás, de hecho también se comportan de manera no local como una onda. ¿Cómo es esto? Las partículas como electrones y protones pueden exhibir un comportamiento de interferencia de la misma forma que lo hacen las ondas. El objeto matemático inventado por los físicos para captar esta naturaleza ondulatoria es apropiadamente conocido como función de onda. La función de onda para un electrón, por ejemplo, está incrustada con toda la física asociada al electrón. ¿En qué consiste la función de onda? Es simplemente una función que asigna un número complejo para cada coordenada del espacio. Y obedece a una de las más famosas ecuaciones de la física conocida como ecuación de Schrodinger, la cual describe el comportamiento dinámico de la función de onda (es decir, cómo evoluciona con el tiempo). Sin alejarnos mucho del centro de esta discusión, la función de onda, por cierto, también tiene una interpretación. El cuadrado de la magnitud de su valor en un punto particular puede ser interpretado como la probabilidad de que la partícula, durante una medida, se encuentre en ese punto.

La naturaleza dual de todos los fenómenos físicos a menudo se cita en el experimento de la doble rendija (del que tengo previsto hablar en una columna posterior). Sin entrar aquí en grandes detalles, los físicos normalmente describen la materia actuando a veces como una partícula (local) y otras veces como una onda (no local). Prefiero la posición en la que no es pertinente ni la analogía de la onda ni de la partícula. De hecho, ambas están equivocadas, pero no tenemos un objeto al que podamos recurrir en nuestra experiencia común que capture de alguna forma las características locales y no locales a la vez.

Los físicos de partículas nos dicen que ciertas partículas tales como los electrones son “partículas puntuales”. ¿Qué significa eso? Básicamente, una partícula puntual no tiene dimensión. Se comporta y está modelada como un punto abstracto de dimensión 0 en un espacio matemático. Tengo planeado hablar de esta noción de partículas puntuales dentro de un tiempo dado que es una afirmación peculiar pero físicamente interesante. Y existen algunas razones físicas interesantes que necesitan del tratamiento de partículas puntuales tales como la relatividad especial, lo cual presentaría problemas si estas partículas tales como el electrón tuviesen una extensión física finita.

Otra área donde aparecen los puntos de vista local y no local es en la mecánica clásica. Un problema elemental en la mecánica clásica es determinar la trayectoria de un objeto clásico tal como una bola de billar en el espacio. Y existen dos teorías equivalentes – una local y una no local – para hacer esto.

La primera teoría, que es familiar a todo estudiante de instituto o de primer año en la facultad de física es conocida como mecánica Newtoniana expresada en la famosa ecuación f=ma, donde f es la fuerza, m la masa inercial del objeto y a la aceleración. La aceleración simplemente indica cómo de rápido cambia la velocidad a lo largo del tiempo. La mecánica Newtoniana afirma efectivamente que en cada punto del espacio un objeto experimenta una fuerza. La fuerza provoca una aceleración del objeto en proporciona a la masa inercial.

Podemos determinar la trayectoria de un objeto tal como una bola de billar si tenemos algunas condiciones iniciales sobre la posición y velocidad de los objetos. De lo que estoy hablando es del cálculo – en particular de la integración, pero esto puede comprenderse sin ningún bagaje matemático. Una forma de hacer esto es comenzar con la posición inicial en la que se encuentra el objeto. Si velocidad inicial es conocida. A partir de esto podemos determinar dónde estará el objeto en un momento del tiempo posterior muy corto (de hecho infinitesimal). Y, similarmente, podemos también determinar la velocidad que tendrá el objeto un tiempo después dado que conocemos la aceleración inicial. Ahora podemos mover la partícula a su nueva posición que hemos determinado y asignar la nueva velocidad que acabamos de calcular. Entonces repetimos este procedimiento un número arbitrario de veces con un grado arbitrario de precisión para seguir la trayectoria de la partícula.

Podemos pensar en la formulación Newtoniana como en una teoría local, en cierto sentido. La bola de billar nota una fuerza local en cada punto y se mueve de acuerdo con un modelo iterativo.

Existe otra forma de resolver este problema, que es conocida como mecánica Lagrangiana. La idea es imaginar todas las posibles rutas que podría tomar la bola de billar a partir de un punto de inicio hacia un punto de destino. Habrá un número infinito, por supuesto. Podemos asignar a cada posible camino un valor y tratar de buscar el camino que tenga un valor extremo (es decir, máximo o mínimo). ¿Funcionará esto? Resulta que sí, pero la pregunta interesante es cuál es la cantidad que tenemos que usar para generar los pesos apropiados de tal forma que el camino que tenga el valor extremo sea, de hecho, la trayectoria clásica. La cantidad necesaria se conoce como Lagrangiano y está relacionado con la energía del objeto, L=T-V donde T es algo llamado energía cinética de la bola de billar (o lo que sea que estemos siguiendo su camino) y V sea la energía potencial correspondiente. ¿Cuál es entonces el peso que tenemos que minimizar?. También hay un término para esto. Se conoce como acción y resulta ser la integral del Lagrangiano a lo largo del tiempo. Por tanto, para cada camino posible, podemos calcular la acción y entonces, al final, encontrar que la trayectoria clásica es el camino que tiene la acción mínima.

La formulación Lagrangiana expresa una idea no local. La bola de billar de alguna forma “siente” todos los posibles caminos y su correspondiente acción a lo largo de cada camino, y escoge la ruta de menor acción.

Resulta que la formulación Newtoniana y Lagrangiana son completamente equivalentes y, de hecho, puede derivarse directamente la ley de Newton (f=ma) a partir de la formulación Lagrangiana (por supuesto, no podía ser de otra manera). Pero el tema importante es que las dos teorías, la formulación Newtoniana y Lagrangiana de la mecánica clásica expresan respectivamente una teoría local y no local pero ambas son equivalentes al predecir la trayectoria de la bola de billar.

Las ideas de fenómeno local y no local están a nuestro alrededor en el mundo macroscópico. Recurrimos a estos conceptos en las teorías y objetos matemáticos que ideamos para comprender y predecir los fenómenos físicos. De una forma extraña y sorprendente, estos modelos son extremadamente exitosos.

Autor: Jon Lederman
Fecha Original: 12 de febrero de 2009
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Esta entrada fue escrita el Viernes, 13 de Marzo de 2009 a las 9:07 am y archivada en Fí­sica, Matemáticas. Puedes seguir cualquier respuesta a esta entrada a través del feed RSS 2.0. Puedes dejar una respuesta, o trackback desde tu propio sitio web.