Nuevo patrón encontrado en los números primos

Los números primos han intrigado a los pensadores curiosos durante siglos. Por una parte, los números primos parecen estar distribuidos aleatoriamente entre los números naturales sin otra ley que el azar. Pero por otra parte, la distribución global de los primos revela una regularidad notablemente suave. Esta combinación de aleatoriedad y regularidad ha motivado a los investigadores a buscar patrones en la distribución de los primeros que finalmente puede arrojar luz sobre su naturaleza última.

En un estudio reciente, Bartolo Luque y Lucas Lacasa de la Universidad Politécnica de Madrid en España han descubierto un nuevo patrón en los primos que sorprendentemente había pasado inadvertido hasta el momento. Encontraron que la distribución del primer dígito en la secuencia de números primos puede describirse mediante una generalización de la ley de Benford. Además, este mismo patrón también aparece en otra secuencia de números, la de los primeros dígitos de ceros no triviales en zeta de Riemann, la cual se sabe que está relacionada con la distribución de los primos. Además de proporcionar una visión sobre la naturaleza de los números primos, el hallazgo podría también tener aplicaciones en áreas como la detección de fraudes y el análisis del mercado de valores.

“Los matemáticos han estudiado los números primos durante siglos”, dijo Lacasa a PhysOrg.com. “Nuevas visiones y conceptos procedentes de la ciencia no lineal, como los procesos multiplicativos, nos ayudan a observar los números primos desde una perspectiva diferente. De acuerdo con este enfoque, se hace significativo que incluso hoy aún es posible descubrir pistas desconocidas de regularidad estadística en tales secuencias, sin ser un experto en teoría de números. No obstante, el tema más significativo de este trabajo no es revelar este patrón en los primos y ceros de Riemann, sino comprender la razón e implicaciones de una estructura tan inesperada, no sólo para temas de teoría de números sino, de forma interesante, para otras disciplinas también. Por ejemplo, estos resultados profundizan en nuestra comprensión de las correlaciones en sistemas compuestos por muchos elementos”.

La Ley de Benford (LB), llamada así por el físico Frank Benford en 1938, describe la distribución de los primeros dígitos en una amplia variedad de conjuntos de datos y secuencias matemáticas. De forma un tanto inesperada, los primeros dígitos no están distribuidos aleatoria o uniformemente, sino que el lugar de esto la distribución en logarítmica. Es decir, 1 como primer dígito aparece aproximadamente un 30% de las veces, y los siguientes dígitos aparecen cada vez con menor frecuencia, con el 9 apareciendo con menor asiduidad. La ley de Benford se ha demostrado que describe distintos conjuntos de datos, desde las constantes físicas a la longitud de los ríos del mundo.

Desde finales de la década de 1970, los investigadores han sabido que los propios números primos, cuando se toman en conjuntos de datos muy grandes, no se distribuyen de acuerdo con la Ley de Benford. En lugar de esto, la distribución del primer dígito de los primos parece ser aproximadamente uniforme. Sin embargo, como señalan Luque y Lacasa, en menores conjuntos de datos (intervalos) de primos exhiben un claro sesgo en la distribución del primer dígito. Los investigadores notaron otro patrón: cuanto mayor es el conjunto de datos de primos que analizaban, más estrechamente se aproximaba a la uniformidad la distribución del primer dígito. A la luz de esto, los investigadores se preguntaron su existía un patrón subyacente en la tendencia hacia la uniformidad cuando el intervalo de primos se incrementaba a infinito.

El conjunto de todos los primos – como el conjunto de todos los enteros – es infinito. Desde un punto de vista estadístico, una dificultad en este tipo de análisis es decidir cómo elegir de forma “aleatoria” en un conjunto de datos infinito. Por lo que debe elegirse un intervalo finito, incluso si no es posible hacerlo completamente aleatorio de una forma que satisfaga las leyes de la probabilidad. Para superar este punto, los investigadores decidieron elegir varios intervalos de la forma [1, 10d]; por ejemplo, 1-100 000 para d = 5, etc. En estos conjuntos, todos los primeros dígitos eran igualmente probables a priori. Por lo que si surgía un patrón en el primer dígito de los primos en un conjunto, revelaría algo sobre la distribución del primer dígito de los primos, al menos en ese conjunto.

Observando múltiples conjunto conforme d se incrementaba, Luque y Lacasa pudieron investigar cómo cambia la distribución del primer dígito cuando el conjunto de datos se incrementa. Encontraron que los primos seguían una Ley de Bendford Generalizada dependiente del tamaño (LBG). Una LBG describe la distribución de números del primer dígito en series que se generan por distribuciones de la ley de potencias, tales como [1, 10d]. Conforme d se incrementa, la distribución del primer dígito de primos se hace más uniforme, siguiendo una tendencia descrita por la LBG. Tal y como explica Lacasa, tanto la LB como la LBG se aplican a muchos procesos de la naturaleza.

“Imagina que tienes 1000 dólares en tu cuenta del banco, con un interés del 1% cada mes”, dijo Lacasa. “El primer mes, tu dinero será 1000*1,01 = 1010.El siguiente mes, 1010*1,01, etcétera. Trasr n meses, tendrás 1,000*(1,01)n. Nota que necesitarás muchos meses para llegar de 1000 a 2000, mientras que pasar pasar de 8000 a 9000 será mucho más fácil. Cuando analices tu cuenta del banco, te darás cuenta que el primer dígito 1 está más representado que 8 o 9, precisamente como dicta la Ley de Benford. Este es un ejemplo muy básico de un proceso multiplicativo donde 0,01 es la constante de multiplicación.

“Los físicos han demostrado que muchos procesos de la naturaleza pueden ser modelados como procesos estocásticos multiplicativos, donde el valor anteriormente constante de 0,01 es ahora una variable aleatoria y los datos equivalentes al dinero de nuestro último ejemplo es otra variable aleatoria con una distribución subyacente de 1/x. Los procesos estocásticos con tales distribuciones se demuestra que siguen la LB. Ahora, muchos otros fenómenos encajan mejor en un proceso estocástico con una probabilidad subyacente más general x^[-alfa], donde alfa es distinto de uno. La distribución del primer dígito que se relaciona con esta distribución general de potencias es la conocida como Ley de Bendford Generalizada (la cual converge a LB para alfa =1).”

De forma significativa, Luque y Lacasa demostraron en su estuvio que la LBG puede explicarse mediante el teorema del número primo; específicamente la forma de la densidad local media de las ciencias es la responsable del patrón. Los investigadores también desarrollaron un marco de trabajo matemático que proporciona condiciones para que cualquier distribución conforme una LBG. Las condiciones se basan en anteriores investigaciones, las cuales han demostrado que el comportamiento de Benford podría tener lugar cuando una distribución sigue una LB para unos valores concretos de sus parámetros, como en el caso de los primos. Luque y Lacasa también investigaron la secuencia de ceros no triviales de zeta Riemann, la cual está relacionada con la distribución de los primos, y cuya distribución de los ceros se considera que es uno de los problemas matemáticos más importantes por resolver. Aunque la distribución de los ceros no sigue una LB, aquí los investigadores encontraron que sigue una LBG dependiente del tamaño, como en el caso de los primos.

Los investigadores sugieren que este trabajo podría tener distintas aplicaciones, tales como identificar otras secuencias que no tengan distribuciones de Benford, pero puedan estar en una LBG. Ademñas, muchas aplicaciones que han sido desarrolladas para la Ley de Benford podrían finalmente ser generalizadas al contexto más amplio de la Ley de Benford Generalizada. Una de tales aplicaciones es la detección de fraudes: mientras que los datos generados de forma natural obedecen la Ley de Benford, los datos supuestos como aleatorios (fraudulentos) no lo hacen, en general.

“La LB es un caso específico de LBG”, explicó Lacasa. “Muchos procesos en la naturaleza pueden ajustarse a una LBG con alfa=1, es decir, una LB. La estructura oculta que cuantifica la Ley de Benford se pierde cuando los números se modifican artificialmente: este es un principio para la detección de fraude en las cuentas, donde se aplican los mecanismos combinatorios asociados a los conjuntos de cuentas tales como la LB. El mismo principio se mantiene para procesos que siguen una LBG con un alfa genérico, donde falla la LB. Por último, para procesos cuya densidad subyacente no es x^(-alfa) sino 1/logN, una LBG dependiente del tamaño sería el distintito correcto”.


Más información: Bartolo Luque and Lucas Lacasa. “The first digit frequencies of primes and Riemann zeta zeros.” Proceedings of the Royal Society A. doi: 10.1098/rspa.2009.0126.

Autor: Lisa Zyga
Fecha Original: 8 de mayo de 2009
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Comments (24)

  1. Nuevo patrón en los números primos: Donde manda patrón, no manda marinero…

    Ya lo decía el famoso escritor Anónimo: Donde manda patrón, no manda marinero. Y aunque en este caso el patrón es un primo, lo han sacado unos españoles de Madrid, así que España vuelve a triunfar tras el Open de Australia ganado por Nadal y la …

  2. Manuel

    Me suena muy raro…. Una propiedad de los números primos que depende de la base de numeración (????)

    ¿Han probado con base 235, o con base 3, o con base 11^2? Vamos, que la elección de la base de numeración como base 10 es de lo más arbitrario, como para que encontrar un patrón en una base muy concreta represente algo significativo.

  3. Silvano

    Manuel
    Supongo que será independiente de la base, siendo el primer número de ella más probable que el último. Entonces la base nos daría una granularidad, mayor en base 2 y menor en hexadecimal… No sé, tiene pinta, aunque mi respuesta no significa la falta de importancia de tu pregunta.

  4. Tritio

    ¿Mande?, no lo he acabado de coger del todo XD.

  5. Sergio

    No depende de la base, Manuel, fíjate en que la Ley de Bendfor, se puede ver muy claramente sin mas que mirar las típicas tablas de multiplicación: Si te fijas, la columna del resultado de multiplicar YA presenta esa tendencia a empezar por el 1, y esto es asi aunque mires las tablas de multiplicar en otras bases.

    Si lo piensa, en la base que sea, el primer dígito solo depende de los primeros dígitos de las dos cantidades que multipliques, así que al final es la tabla de multiplicar números de 1 dígito la que te marca la distribución de los primeros dígitos en cualquier cantidad que sea, directa o indirectamente, producto de varias cantidades (la superficie de un país se puede ver como ancho x alto, por ejemplo).

    La sorpresa viene cuando encuentras esta distribución en unas cantidades que, a priori no son el resultado de multiplicaciones… por ejemplo, la longitud de un rio. De forma “oculta” han de serlo, quizás el resultado de multiplicar la distancia del nacimiento del río al mar * la altura, ya que a mas altura, mas rápido fluye y menos meandros tiene, y cosas así menos evidentes que en la superficie de un país.

    En general, toda cantidad no acotada -la altura de las personas NO sigue la ley de BendFord, porque no hay gente de cualquier escala que imagines- y que este asociada con un proceso natural, casi siempre sigue esta ley o alguna de sus generalizaciones, aunque no siempre se vea claro el porqué.

    Los gastos de una empresa, cumplen esto: Por ejemplo, el gasto puede verse como cantidad de cosas compradas x precio, y ambas son no acotadas -en principio- con lo que la cuenta de gastos real de una empresa ha de tener un 30% de gastos que comiencen por 1 (si miras el extracto de tu banco te sorprenderás de ver mas o menos un 30% de ellos empezando por 1, y muy pocos por 9, auque lo importes en Excel y lo traduzcas a base 16, por ejemplo).

    • Manuel

      OK Sergio, gracias. Ahora lo entiendo un poco mejor.

      Sería interesante un estudio cambiando las bases de representación, por ver si el sesgo se confirma y/o si hay algún matiz interesante,

      • Sergio

        Es como si a una distribucion normal centrada en el cero y con varianza 1 -la clasica- la comparas con otra normal de otra varianza: La altura maxima es diferente, y las colas son mas largas, pero la figura es la misma basicamente.

        Si cambias de base a base 16, por ejemplo, vas consiguiendo una grafica tipo 1/Log(n) pero variando la base, mas “suave” y con menos saltos cuanto mas grande es la base, pero sigue siendo la misma ley.

        Es como integrar sumando intervalos de 1/10 del total o 1/16 del total, la grafica se hace mas suave y esas cosas, pero no cambia la ley en si.

  6. Localizado un patrón en los números primos…

    Siempre se ha creído que los números primos están distribuidos aleatoriamente entre los números naturales sin otra ley que el azar.

    No obstante también es cierto que la distribución global de los primos revela una regularidad notablemente suav…

  7. ESTE ES OTRO PATRON

    6^n*2-1 este es un ejemplo: 6^1*2-1=11 ; 6^2*2-1=71 ; 6^3*2 -1=431 ;6^4*2-1=2591 Y TODOS TERMINAN EN ” 1″

  8. OTRO PATRON ES: 2^(n*6)+3 , EJEMPLO,2^(1*6)+3=67 ;2^(2*6)+3=4099 ;2^(3*6)+3=262147 O ESTE QUE MUY GRANDE 2^(333333311*6)+3

  9. ZetaZeta

    Que las bendiciones mas grandes sean sobre ustedes!

    Y si alguien ya encontro la solucion de este grande misterio, que deberia hacer para que primero, no le roben la idea, segundo para que su vida no tenga que cambiar y verse expuesto a los medios y tercero que hacer para que el conocimiento revelado sea usado para el bien de todos?

    Se puede desear pasar a la historia con una idea, simple, completa y util, pero como hacerlo sin perder la paz en el proceso?

  10. ESTE ES EL NUMERO PRIMO MAS GRANDE DEL MUNDO Y ES UN NUMERO PRIMO MERSENNE
    2^(2^127-1)-1

    Y NO MIENTO ESTE OTRO ES UN NUMERO CUADRADO Y CUBO A LA VES, Y SON CUADRADO Y CUBO PERFECTO
    2^5199462

  11. ESTE OTRO NUMERO ES MAS GRANDE
    2^(2^(2^127-1)-1)-1

  12. ya entiendo el numero primo es un distibucion globalde los primos revela una
    regolaridad notablemente suave

  13. marcosx

    cada comentario que leo me causa una gracia tremenda, la gran mayoria de ustedes cual si fueran los numeros primos, solo quieren hacerse notar. respondo para que entiendan que cada comentario que sale de este lugar solo es para querer figurar o analizar algo que creen entender pero que al final , no llegan al prefacio del conocimiento que se quiere dar a entender , complicas las cosas manuel, y complican mas las cosas el que no sabe responder , si no estan preparados aun para poder entender es mejor que no comenten y no respondan cosas que ni siquiera merecen respuestas.

  14. Ivan Mrsnik

    He visto conjeturas y reglas, yo me invente las mias, que pueden haber sido escritas por otros y las puse todos en un código que me permite sacar 1 a 500 millones cuales son primos y se tarda 16 segundos apenas. Y casi no utilizo operaciones matematicas, excepto en los incrementos. Y no tengo un super computador sino una lenovo n200. Si tuviera un tesla o una red GIMPS, ya estaria sacando números de mas de miles digitos, y lo hice hace 2 días

    Ivan Mrnik

  15. [...] Zyga, “New Pattern Found in Prime Numbers,” PhysOrg.com, traducido por Kanijo, “Nuevo patrón encontrado en los números primos,” Ciencia Kanija, eco en Gaussianos y en Microsiervos; ^DiAmOnD^, “Una nueva solución [...]

  16. Saludos estimada y grandiosa comunidad de Ciencia Kanija, sólo para comentarles acerca de un blog que encontré hace poco en donde un Joven Matemático Mexicano elaboró un artículo demasiado interesante en donde expone un NUEVO PATRON ACERCA DE LA DISTRIBUCION DE LOS NUMEROS PRIMOS,LES DEJO LA DIRECCION DEL BLOG Y LA DEL ARTICULO PARA QUE LO PUEDAN DIVULGAR EN SU WEB, ESTA MUY INTERESANTE ECHENLE UN OJO Y VERAN…UN ABRAZO….

    EL BLOG DEL MATEMATICO ES

    http://misterionumerosprimos.blogspot.com/

    Y eL Artículo es:

    http://misterionumerosprimos.blogspot.com/2011/07/nuevo-patron-en-la-distribucion-de-los.html

    Ademas viene mas aportes y fórmulas desarrolladas por este joven de apellido Camacho…

  17. Miguel Angel

    Ya!! he encontrado el patron.

    3*2=6 ———3/6=0.5
    5*2=10——–5/10=0.5

    Todos terminan en 0.5 multiplicandolo por 2 y dividiedolo por el resultado.

    Bueno me falla que tabien ocurre con los numeros no primo
    Lo que vale es la intencion ¿NO? jajajaja

    • Anonimo

      Miguel Angel ese no es un patrón , es algo muy evidente! e icnlusive pudieras obtener otras relaciones, lo que tu haces es lo siguiente :

      sea P={2,3,5,7,11,13,17,19,23…}

      Donde i=1,2…..
      ENTONCES Pi/Pi*2=0.5, algebraicamente sabemos que eso es lo mismo que tener Pi/Pi*(1/2)=1*1/2=1/2=0.5.

      que tal si yo te digo

      (Pi^3/Pi^2 *2)*/Pi , es unj patróon?, o sea (2^3/2^2*2)/2=0.5
      (3^3/3^2*2)/3=0.5

  18. [...] Lisa Zyga, “New Pattern Found in Prime Numbers,” PhysOrg.com, traducido por Kanijo, “Nuevo patrón encontrado en los números primos,” Ciencia Kanija, eco en Gaussianos y en Microsiervos; ^DiAmOnD^, “Una nueva solución al [...]

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