Hiperesfera exótica: El problema del invariante de Kervaire tiene una solución

Un problema de hace 45 años sobre esferas de dimensiones superiores ha sido resuelto – probablemente.

Calma. Hasta hace poco, merodeando en los oscuros huecos de la existencia matemática, podría haber una esfera realmente extraña de 254 dimensiones, o 510, o 1026. De hecho, por lo que se sabía, podrías haber tenido que preocuparte por extrañas esferas cuando visitases cualquier espacio con un número de dimensiones del tipo 2k – 2.

No por más tiempo. “Esta noche podremos dormir un poco mejor”, bromeaba el físico matemático John Baez de la Universidad de California en Riverside, en su blog. Baez se refería al anuncio hecho por los matemáticos Michael Hopkins de la Universidad de Harvard, Michael Hill de la Universidad de Virginia y Douglas Ravenel de la Universidad de Rochester que han solventado una pregunta de hace 45 años conocida como el problema del invariante de Kervaire. De confirmarse, sus resultados ponen la guinda a una parte gloriosa de las matemáticas de la década de 1960: la clasificación de esferas “exóticas” de dimensiones superiores. El problema de Kervaire era un gran obstáculo en el camino hacia la comprensión de espacios multidimensionales, y su solución podría tener implicaciones en campos igualmente exóticos del campo de la física como la Teoría de Cuerdas.

Cuando los matemáticos hablan de espacio de dimensiones superiroes, se refieren al número de variables, o dimensiones, necesarias para situar un punto en dicho espacio. La superficie de la Tierra es bidimensional debido a que son necesarias dos coordenadas — latitud y longitud – para especificar cualquier punto sobre ella. En términos más formales, la esfera estándar bidimensional es un conjunto de puntos equidistantes de un punto en 2 + 1 = 3 dimensiones. Más generalmente, la esfera n-dimensional estándar, o n-esfera para abreviar, es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto central en un espacio de n + 1 dimensiones. Las esferas están entre los espacios más básicos de la topología, la rama de las matemáticas que estudia qué propiedades permanecen sin cambios cuando se deforma un objeto sin aplastarlo o desmembrarlo. La topología aparece en muchos estudios, incluyendo aquellos que intentar determinar la forma de nuestro universo.

En los últimos años los matemáticos han completado la clasificación de espacios 3-D que son “compactos”, lo que significa que son finitos y sin bordes. (Una esfera es compacta, pero un plano infinito no). Por tanto, han calculado las topologías de todos los universos posibles, siempre que esos universos sean compactos y tridimensionales. En más de tres dimensiones, no obstante, la clasificación completa ha resultado ser intratable e incluso lógicamente imposible. Los topólogos habían esperado al menos que los espacios simples como las esferas fuesen lo bastante fáciles.

John Milnor, ahora en la Universidad Stony Brook, las cosas se complicaron un poco en la década de 1950 cuando descubrió la primera 7-esfera “exótica”. Una n-esfera exótica es una esfera desde el punto de vista de la topología. Pero no es equivalente a la n-esfera estándar desde el punto de vista del cálculo diferencial, el lenguaje en el que se formulan las teorías físicas. La discrepancia tiene consecuencias para ecuaciones tales como las que describen el movimiento de partículas o la propagación de ondas. Esto significa que las soluciones a tales ecuaciones (o incluso sus formulaciones) en un espacio no pueden ser mapeadas sobre el otro sin desarrollar desvíos, o “singularidades”. Físicamente, las dos esferas son diferentes, mundos incompatibles.

En 1963 Milnor y su colega Michel Kervaire calcularon el número de 7-esferas exóticas y encontraron que había exactamente 27 distintas. De hecho, calcularon el número de n-esferas para cualquier n por encima de cinco. Sus cálculos, no obstante, tenían una ambigüedad — un posible factor de dos — cuando n es un número par. William Browder de la Universidad de Princeton más tarde eliminó la ambigüedad, excepto para dimensiones del tipo n = 2k – 2, empezando en k = 7 — específicamente, 126, 254, 510, etcétera. En otras palabras, los matemáticos sólo podían adivinar el número de esferas exóticas en estas dimensiones dentro de un factor de dos, conocido como el invariante de Kervaire debido a su relación con el concepto anteriormente inventado por Kervaire.

Hopkins y sus colegas creen que han encontrado una forma de eliminar dicha ambigüedad. En su demostración, la cual implica una intrincada jerarquía de sistemas algebraicos llamada grupos de homología, demuestran que el factor de dos no existe en ninguna de esas dimensiones excepto posiblemente en el caso de 126, la cual, por razones técnicas, no se aborda en su estrategia de demostración. (En realidad hay otra gran excepción: el caso 4-D. Aunque no hay 1-, 2- o 3-esferas exóticas, nadie tiene ninguna pista sobre si existe 4-esferas exóticas o no).

Aunque los investigadores no han publicado aún su demostración, dice Hopkins, “Tengo tanta confianza como pueda tenerse” sin una revisión por pares de que la demostración es correcta. Gunnar Carlsson, topólogo de la Universidad de Stanford, dice que sólo ha oído “un esbozo superficial de la demostración propuesta” de Hopkins pero es “optimista en que los ingredientes puedan estar perfectamente ahí para la resolución de este problema”. Y este es el momento adecuado, si no dormías preocupado por las esferas extrañas.


Autor: Davide Castelvecchi
Fecha Original: 24 de julio de 2009
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Comments (5)

  1. Hiperesfera exótica: El problema del invariante de Kervaire tiene una solución…

    Un problema de hace 45 años sobre esferas de dimensiones superiores ha sido resuelto… probablemente. El problema de Kervaire era un gran obstáculo en el camino hacia la comprensión de espacios multidimensionales, y su solución podría tener implicacio…

  2. edo

    hola, me parece interesante, pero la definición de compacto esta al menos mala, les dejo este enlace a wikipedia con la definición

    http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_compacto

    no es lo mas intuitivo, pero no se me ocurre algo mejor.

    Respecto al articulo, me parece interesante, pero la explicación es pésima, y este tema no es de mi área, por lo que no puedo ayudar mucho.

    Saludos.

    PD: aprovecho de felicitarlos, yo estudie un magister en matemática y encuentro que blogs como este que entran más en lo técnico, pero sin exagerar, hacen falta.

  3. El enlace de wikipedia puede resultar interesante para alguien que sepa matemáticas superiores, pero no creo que sea más útil que la definición de compacto del artículo en sí. En cuanto a la explicación, no estoy de acuerdo contigo, edo. No es pésima, en absoluto. Lo que pasa es que el tema es muy complicado. A veces en la ciencia (y en la matemática en particular) se llega a un nivel de complejidad, que no se le puede explicar a la gente con ejemplo “cotidianos” o que se entiendan. Si fuese así, no sería tan difícil.

    A mi me ha parecido muy buena explicación, porque aunque no he entendido todo (soy físico, no matemático; y la topología la he tocado poquito), he cogido la idea general. Y es de eso de lo que se trata. Un saludo y enhorabuena Kanijo.

  4. Leonardo

    Uff !! Gracias a Dios ..!
    Por fin puedo dormir tranquilo.. el problema multidimensional de esferas exoticas de Kervaire tiene una explicación !
    Esto marcará un antes y un despues, sin duda alguna.

  5. toxrn

    ¿No será 1022?

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