Lo que los agujeros negros enseñan sobre las partículas fuertemente acopladas

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Agujero negroLos sistemas clásicos con partículas interaccionando fuertemente entre sí, pueden en principio tener viscosidad nula. Pero la teoría de cuerdas y los experimentos sugieren que en el mundo cuántico, la viscosidad tan sólo puede ser muy baja, nunca nula.

La noción de un fluido perfecto surge en muchos campos de la física. El término puede ser aplicado a cualquier sistema que está en equilibrio local y que tiene una viscosidad de corte (shear viscosity en inglés) despreciable. En la vida diaria, la viscosidad es una propiedad familiar asociada con la resistencia al flujo de una sustancia. Microscópicamente, es un diagnóstico de la fuerza de las interacciones entre los constituyentes de un fluido.  La viscosidad de corte mide cómo las perturbaciones en el sistema se transmiten al resto del sistema a través de interacciones. Si esas interacciones son fuertes, las perturbaciones se transmiten a lo largo del sistema más rápidamente (ver fig. 1). Así, viscosidades de corte bajas indican una fuerza de interacción entre los constituyentes del fluido intensa. El gas ideal representa el otro extremo -un sistema sin interacciones y con una viscosidad de cizalla infinita.

Figura 1Los fluidos perfectos son fáciles de describir, pero pocas sustancias en la tierra se comportan como éstos. Aunque usualmente citada como un fluido de baja viscosidad, el agua tiene de hecho una viscosidad sustancial, como indica su tendencia a formar remolinos cuando encuentra un obstáculo a su paso, en vez de fluir suavemente como un fluido hidrodinámico. Incluso el famoso Helio-3, que puede escaparse de un recipiente por fuerzas capilares, no es un fluido perfecto.

Dos fluidos notables

Considerando lo útiles que han sido los superfluidos para estudiar mecánica cuántica, cabría esperar que también lo fueran para el estudio de los fluidos perfectos. Casualmente, se han descubierto en los últimos cinco años sistemas que parecen comportarse como fluidos perfectos. Experimentadores de la colaboración RHIC, en el laboratorio nacional de Brookhaven, informaron en 2005 que las colisiones de núcleos de oro producían un estado líquido de materia interactúando fuertemente de viscosidad despreciable. Casi simultáneamente, un grupo de la Universidad de Duke informaba de que un sistema de átomos de litio fuertemente acoplado se comportaba aproximadamente como un fluido perfecto. Además, nuevos trabajos sugieren que otros sistemas como el grafeno3 también muestran un comportamiento de fluido perfecto.

Esta aparente perfección de los fluidos de RHIC y Duke – con temperaturas de 2 billones de kelvin y de unos pocos microkelvins respectivamente – significa que las intuiciones derivadas de la teoría de perturbaciones no funcionan. Ésta se basa en el camino libre medio de las partículas constituyentes del sistema. El problema es que el camino libre medio típico requerido para obtener viscosidades bajas es del orden de las fluctuaciones cuánticas y térmicas del sistema. Así que muchas estimaciones basadas en la teoría cinética y en técnicas perturbativas computacionales están destinadas al fracaso. Consideremos, por ejemplo, la QCD (siglas de cromodinámica cuántica en inglés), la teoría de las interacciones de los quarks y los gluones. La QCD perturbativa ha tenido éxito en la explicación de los datos de los colisionadores de partículas, pero no lo ha tenido en la descripción de la física del RHIC.

Como con las teorías que describen las interacciones electromagnéticas y nucleares débiles, la QCD tiene una simetría local interna – SU(3) en este caso – y se denomina haciendo referencia a ésta, teoría gauge. Las teorías gauge son las piedras angulares del modelo estándar de la física de partículas, pero la mayoría de sus éxitos cuantitativos se han producido en el régimen perturbativo. QCD es perturbativa cuando las partículas transfieren una gran cantidad de momento, una propiedad llamada libertad asintótica. En cualquier otro caso, los quarks y los gluones descritos por la QCD están fuertemente acoplados. Así, los quarks están ligados en hadrones tales como protones y neutrones. Los sistemas de quarks y gluones fuertemente acoplados son difíciles de describir en detalle usando QCD, y la fuerte interacción observada en RHIC es un profundo ejemplo de un nuevo fenómeno que necesita ser entendido. Las poderosas técnicas numéricas que permiten a los físicos extraer algo de la física no perturbativa de QCD pueden sólo acceder a un pequeño subconjunto de fenómenos observados. Un entendimiento más detallado requiere nuevas herramientas.

De acuerdo con la libertad asintótica, las propiedades de la sustancia creada en RHIC son en cierto modo sorprendentes. La libertad asintótica sugiere que debería formarse una nueva fase de la materia cuando las temperaturas son suficientemente altas como para debilitar la interacción entre los quarks y los gluones, siendo estos liberados desde dentro de los hadrones. Esta nueva fase de la materia se conoce con el nombre de plasma quark-gluón, QGP en inglés. Para estimar la temperatura a la que se produce la transición de fase, los teóricos usan la QCD en el retículo, una técnica en la cual los campos  que desgnan al quark y al gluón se definen en un espacio-tiempo discreto, y potentes ordenadores se usan para calcular los elementos de matriz de las transiciones (ver el artículo de Carleton DeTar y Steven Gottlieb en Physics Today, Febrero de 2004, pág. 45). La retícula QCD (Lattice QCD en inglés)  es un complemento natural a la QCD perturbativa y permite el cálculo de algunas cantidades físicas, como por ejemplo, la densidad de energía a temperatura no nula, incluso para partículas que interaccionan fuertemente entre sí. Predice una transición de fase de hadrones a plasma quark-gluón a unos 2 x 1012 Kelvin.

El primer objetivo de RHIC, que colisiona núcleos pesados, fué encontrar evidencias del QGP y estudiar sus propiedades. Los científicos del RHIC esperaban encontrar evidencias de un gas de quarks interaccionando débilmente entre sí. En vez de eso, encontraron que la distribución azimutal de partículas emitidas tiene forma elíptica; a saber, sugiere un empuje colectivo en la dirección de mayor gradiente de densidad de materia. Un gas ideal, por ejemplo, se evapora de forma aproximadamente isotrópica, es decir, con partículas emitidas igualmente en todas las direcciones. El RHIC se modelaba mejor como un líquido con una viscosidad de corte extremadamente baja. Este descubrimiento, junto con la observación de un fenómeno llamado en inglés “quenching jet”, que vendría a ser la extinción del chorro de partículas, que se produce como consecuencia de la opacidad del sistema a los quarks con velocidades altas, llevó a la comunidad de iones pesados a anunciar en 2005 que sea lo que fuere lo que RHIC produjo, se trataba de un sistema fuertemente interactuante, algo para lo que no existían todavía elementos teóricos.

Al mismo tiempo, un comportamiento que recordaba a un fluido perfecto fue observado por un grupo de la Universidad de Duke estudiando gotas de átomos ultrafríos de Litio-6. El sistema se ajustaba a la región de interacción fuerte entre dos regímenes característicos, uno de condensado de Bose-Einstein de pares moleculares, y el otro de comportamiento de Bardeen-Cooper-Schrieffer, asociado con la formación de pares de Cooper de átomos. Una medida explícita posterior de la viscosidad de corte del sistema dió un resultado extremadamente bajo, como en el RHIC.

Los dos siguientes artículos, discuten los experimentos del RHIC y de Duke en más detalle, y presentan evidencias de que los sistemas observados tienen un comportamiento cercano al de fluidos perfectos. Aquí, nos centramos en lo que nosotros consideramos como la verdadera sorpresa de esta extraña convergencia empírica entre lo ultracaliente y lo ultrafrío: la aparente habilidad de la teoría de cuerdas de describir la interacción fuerte emergente en términos de un agujero negro existente en un espacio-tiempo de más de las 4 dimensiones habituales. Varias propiedades físicas clave de los sistemas producidos en Duke y en RHIC parecen entenderse mejor en términs de dichas nuevas e inesperadas variables, que pueden anunciar una clase completamente nueva de técnicas para el estudio de ciertos tipos de sistemas cuánticos cuyos elementos constituyentes interaccionan fuertemente.

El principio holográfico

En los último 12 años, la comunidad de la teoría de cuerdas ha introducido una componente inesperada en el estudio de teorías gauge: la gravedad cuántica.  En su centro se encuentra el principio holográfico, una conjetura formulada por Gerard’t Hooft (4) y posteriormente desarrollada por Leonard Susskind (5). El principio asegura que cualquier teoría de gravedad cuántica en un espacio-tiempo de d+1 dimensiones tiene una descripción equivalente en término de una teoría que puede ser pensada como existente en el límite de dicho espacio-tiempo, de d dimensiones.

El principio holográfico estuvo motivado por los resultados obtenidos cuando se aplicaron las reglas de la mecánica cuántica a los agujeros negros, que son descritos por la relatividad general. Ese trabajo comenzó en los primeros años de la década de 1970 con las aproximaciones semiclásicas de Stephen Hawking, Jacob Bekenstein, y otros, y culminó en la década de 1990 con una teoría de gravedad cuántica, la teoría de cuerdas.

Aunque los agujeros negros clásicos tienen una superficie de máxima aproximación de la que nada desde el interior puede escapar – el horizonte de sucesos – Hawking descubrió que cuando entra en juego la mecánica cuántica, un agujero negro emite radiación a una temperatura dada por su masa-energía (6). Bekenstein dándose cuenta de que un agujero negro con temperatura debería obedecer las leyes de la termodinámica, concluyó que deberia tener una entropía bien definida (7). Su fórmula resultante, de Bekenstein-Hawking, relaciona la entropía de un agujero negro con la superficie de su horizonte de sucesos, S  = A/4 · (kBc3/Gℏ), donde kB, G y ℏ son las constantes de Boltzmann, gravitatoria y de Planck respectivamente. Este asombroso resultado – la entropía es proporcional al área del horizonte de eventos, que delimita al agujero negro, y no al volumen delimitado por el horizonte de eventos – sugiere que el número de grados de libertad necesarios para describir un agujero negro cuántico escala igualmente con su área, no con su volumen. En otras palabras, un agujero negro crea un “holograma” de la física de la región espacio-temporal interna, que es proyectada sobre la frontera del agujero negro, su horizonte de eventos.

Debido a que un agujero negro se forma si la densidad de masa-energía es suficientemente alta, podría esperarse que cualquier teoría de gravedad cuántica mostrase una naturaleza holográfica cuando se intentan determinar sus grados de libertad a altas energías y distancias cortas. De ahí surgió la idea de que una teoría de la gravedad cuántica tiene una descripción alternativa en términos de una teoría no gravitatoria – un “dual holográfico” – en un espacio-tiempo con una dimensión menos. Como a nivel perturbativo, la gravedad cuántica es fundamentalmente diferente de la física no gravitatoria,  la relación dual debe ser simple. Es de hecho, una dualidad de acoplamiento fuerte-débil, lo que quiere decir que cuando la teoría es sobre una interacción débil y tiene por tanto una descripción perturbativa, su descripción dual es de una interacción fuerte, y viceversa.

Que la gravedad cuántica surge en el contexto de sistemas fuertemente interactuantes tales como QGP y átomos de Li-6 ultrafríos podría ser confuso en principio. Después de todo, muchos de nosotros aprendimos que la gravedad es mucho más débil que el resto de las fuerzas,  y que la escala de la gravedad cuántica, la escala de Planck, está muy lejos del régimen accesible a los experimentos. La solución simple de este problema es que no es la gravedad de nuestro universo la que está siendo empleada en construcciones duales sino una teoría auxiliar. Vivimos en un universo plano, con posiblemente, una pequeña constante cosmológica positiva, pero las construcciones holográficas relevantes para los resultados de RHIC y Duke están relacionadas con la gravedad cuántica en al menos una dimensión espacial extra y una constante cosmológica negativa. La gravedad cuántica en tales espacio-tiempos parece determinar los puntos básicos de la física de dichos sistemas no gravitatorios.

La correspondencia AdS/CFT

El ejemplo mejor entendido de holografía es la llamada correspondencia AdS/CFT (anti–de Sitter/conformal field theory), formulada por tres grupos a finales de la década de 1990 (ver ref. 8 y el artículo por Igor Klebanov y Juan Maldacena, Physics Today, Enero 2009, pág. 28). Los espacio-tiempos Anti-de Sitter son análogos de los espacio-tiempos de Minkowski de la relatividad especial, pero con una constante cosmológica negativa. Una importante característica de tales espaciotiempos d+1 dimensionales es que su volumen tiene secciones radiales que son espaciotiempos de Minkowski d dimensionales. La dualidad holográfica funciona en parte precisamente gracias a esta característica: los campos que se propagan en el volumen, que interaccionan gravitacionalmente, tienen valores esperados bien definidos cuando la coordenada radial tiende a infinito, lo que se denomina usualmente frontera o límite. Estos valores asintóticos se comportan como campos e interacciones en el espacio-tiempo de la frontera, que es de Minkowski y posee d dimensiones, definiendo una teoría autoconsistente completa. Increíblemente,  además, a veces estas teorías duales son teorías gauge, como las de la física nuclear y de partículas.

El caso probablemente más conocido, el de la teoría de la gravedad cuántica en cinco dimensiones, y su teoría holográfica dual de Yang-Mills con una escala de invarianza local conocida como invarianza conformal (de ahí las siglas en inglés CFT de la correspondencia). La teoría de Yang-Mills, además, es invariante respecto a la supersimetría (que empareja partículas de espín entero con partículas de espín semientero). La simetría gauge de la teoría es SU(Nc); como enseguida mostraremos, Nc tiene que ser grande para que la dualidad sea de interés. Una combinación de Nc y el acoplamiento de Yang-Mills gYM forma el denominado acoplamiento ‘t Hooft de la teoría, λ = g2YMNc, que determina la fuerza efectiva de las interacciones. Cabe recordar aquí que QCD es un teoría Yang-Mills con Nc=3, correspondiéndose con los tres colores de los quarks. Más aún, el contenido de materia de QCD -los quarks- es diferente del contenido de materia de la teoría supersimétrica Yang-Mills. En cualquier caso, los cálculos muestran que las diferencias entre las dos teorías no son tan grandes en el régimen de alta temperatura. Así, la teoría supersimétrica Yang-Mills es potencialmente relevante para los resultados de RHIC.

Para motivar la propiedad de dualidad de acoplamiento fuerte-débil de AdS/CFT, empezamos preguntando qué determina si los cálculos de la gravedad cuántica pueden ser llevados a cabo de modo perturbativo. El grado de interacción local de la gravedad en el volumen del espacio-tiempo viene dado por la curvatura espacio-temporal, que puede ser caracterizada por una escala de longitud lc. Como con el radio de una circunferencia, un valor de lc pequeño implica una gran curvatura espacio-temporal. La teoría de cuerdad, relevante para la gravedad cuántica, tiene también una escala de longitud natural ls, que es inversamente proporcional a la tensión de la cuerda. Si ls ≪ lc, entonces la teoría de cuerdas débilmente acoplada es una herramienta adecuada para los cálculos de la gravedad cuántica: los teóricos calculan las cantidades relevantes como una expansión perturbativa del cociente adimensional ls/lc.

La característica notable de la dualidad es que el acoplamiento ‘t Hooft de la teoría Yang-Mills en la frontera es inversamente proporcional al cociente lc/ls [Ref. 4]. Así, el régimen perturbativo de la gravedad se corresponde con el régimen de acoplamiento fuerte de la teoría Yang-Mills. Y a la inversa, si el acoplamiento de ‘t Hooft es pequeño, entonces la teoría gravitatoria dual requiere un tratamiento no perturbativo de la teoría de cuerdas, ya que la gran curvaturay los efectos de los acoplamientos de las cuerdas no pueden ser despreciados. Más aún, el acoplamiento de las cuerdas y el de Yang-Mills son proporcionales entre sí. Si el acoplamiento de las cuerdas es pequeño en el régimen perturbativo, el acoplamiento de ‘t Hooft sólo puede ser fuerte si el parámetro Nc de SU(Nc) del grupo de simetría gauge es grande.

Hay una casualidad maravillosa aquí. Las dualidades holográficas fueron descubiertas originalmente en un esfuerzo para entender la física de la gravedad fuertemente acoplada. Las teorías duales gauge débilmente interaccionantes permitieron a los teóricos de las cuerdas probar la fórmula de la entropía de Bekenstein-Hawking para una gran clase de agujeros negros, por citar sólo un ejemplo. Las dualidades ahora se han invertido, de tal modo que las técnicas perturbativas de la gravedad pueden ser empleadas al servicio del estudio de sistemas no gravitacionale fuertemente acoplados.

El límite a la perfección

La teoría de retícula QCD ha permitido el cálculo de determinadas propiedades térmicas tales como la ecuación de estado, pero la técnica tiene muchas dificultades para calcular propiedades de transporte, debido a que emplea el conocido como formalismo de tiempo euclideano. En esta técnica, un instante de tiempo se corresponde con un valor de la  temperatura, y entonces, la evolución temporal explícita no puede ser estudiada. Las ténicas holográficas no tienen esta limitación. Para un sistema térmico, la teoría gravitatoria dual tiene un agujero negro en la dimensión extra, lejos de la frontera. La radiación de Hawking del agujero negro está en equilibrio térmico con todo el espacio-tiempo y por tanto con la teoría gauge dual definida en la frontera del infinito. Debido a la temperatura no nula, la teoría dual no es ni supersimétrica ni invariante conformal, lo que permite representar mejor los sistemas experimentales de interes.

Como se ha discutido antes, la viscosidad de corte η refleja la fuerza de la interacción. Dividiendo η por la densidad de entropía s de un sistema tenemos una medida de la interacción por constituyente que permite una mejor comparación a través de diferentes sistemas en un rango de escalas más amplio. La viscosidad es proporcinal al tiempo medio entre colisiones τ de la partícula constituyente y a la densidad de energía ε del sistema. La densidad de entropía es proporcional a la densidad número de partículas n, por lo que el ratio η/s debería ser aproximadamente τE/kB, donde E es la energía por partícula. El producto τE, es por el principio de incertidumbre de Heisenberg, del orden de ℏ o mayor, y enonces el ratio η/s viene determinado por ℏ/kB, con un multiplicador adimensional determinado por los detalles de la sustancia en cuestión. El acoplamiento fuerte tiende a reducir τ, por lo que los fluidos fuertemente interactuantes tendrán viscosidades de shear más pequeñas que los débilmente interactuantes.

En 2005 Pavel Kovtun, Dam Son, y Andrei Starinets (KSS) usaron el anterior argumento dimensional, junto con el principio de incertidumbre de Heisenberg, para motivar la existencia de un límite inferior universal en η/s que sería aproximado para sistemas acoplados fuertemente (ver ref. 9 y Physics Today, Mayo 2005, pág. 23). La idea surgió cuando observaron (reforzado por estudios de otros grupos) que, al primer orden, una variedad de teorías gauge fuertemente acopladas con teorías duales holográficas conocidas conducían a un valor universal para η/s muy pequeño. El cálculo clave había sido llevado a cabo anteriormente por Giuseppe Policastro, Son, y Starinets (Ref. 10). El cálculo de cómo una perturbación se propaga en una teoría gauge puede ser reformulado como el cálculo de la propagación de los gravitones desde un punto de la frontera a las dimensiones adicionales del volumen, dispersados por el agujero negro, y de vuelta a otro punto de la frontera (ver fig. 2). La sección eficaz de dispersión es proporcional al área del horizonte de eventos del agujero negro, y como Policastro y sus colegas mostraron, la viscosidad es proporcional a la sección eficaz de dispersión. Y como la entropía de Bekenstein-Hawking es proporcional al área del horizonte de eventos del agujero negro, resulta que η/s = 1/4π  · ℏ/kB. Este valor es válido para algunos tipos de sistemas, pero KSS conjeturaron que se trata de un límite inferior universal.

Las sustancias ordinarias como el agua, e incluso otros fluidos preparados específicamente para el laboratorio, como el helio líquido por ejemplo, tienen cocientes η/s más altos que el valor de KSS. Pero los sistemas de RHIC y Duke parecen tener un cociente η/s mucho más cercano al valor KSS, muy por debajo de todos los otros sistemas conocidos.

La posibilidad de un límite inferior fundamental en η/s condujo a varias discusiones fructíferas entre físicos trabajando en campos tradicionalmente desconectados entre sí, y ayudó a focalizar también diferentes experimentos. Esta convergencia entre teoría y experimento es emocionante, y notablemente, es el primer diálogo entre teóricos de cuerdas y experimentales para producir resultados experimentales. En cierto sentido, la teoría predice la exitencia y propiedades de una clase de fluidos con cocientes η/s extremdamente bajos, y los experimentales están ahora buscando impactantes ejemplos de tales sistemas.

Cuestiones de detalle

Poner un agujero negro en un espacio-tiempo 5D no proporciona a su teoría dual Yang-Mills de temperatura finita con el contenido específico de la temperatura finita de QCD. La teoría dual no tiene quarks, y Nc tiene que ser grande, no 3, como en QCD. Claramente, los teóricos estarían encantados de encontrar una teoría gravitacional que fuera dual con la QCD en vez de con su pariente Yang-Mills. Sin embargo, las investigaciones llevadas a cabo hasta ahora, sugieren que la meta será muy difícil de conseguir. Incluso relajando el requisito de que Nc sea grande, los cálculos en la teoría de cuerdas son irrealizables. La pregunta entonces es por qué los sistemas que han sido analizados comparten algunas propiedades con QCD. ¿Es un accidente?, ¿o es un signo de una conexión profunda, más allá de los detalles?

La similitud de los cocientes η/s teóricos y experimentales sugiere que los sistemas estudiados están controlados principalmente por la temperatura; los detalles microscópicos de la física son menos importantes. En el régimen hidrodinámico fuertemente acoplado, la temperatura determina la energía, la presión, la velocidad del sonido, e incluso la viscosidad, que determina la desviación respecto del comportamiento de un fluido perfecto. Por otro lado, en el lado holográfico dual, la geometría del espacio-tiempo está completamente determinada por la temperatura, que determina el tamaño del agujero negro. Las evidencias de que los detalles microscópicos pueden no ser tan importantes vienen de los éxitos conseguidos en la descripción cualitativa de la física del RHIC -dinámica de quarks pesados y extinción del jet-, aplicando la dualidad holográfica. Además, la ecuación de estado obtenida con la teoría de QCD en el retículo coincide cualitativamente con los resultados de RHIC.

Los teóricos han estudiado las dualidades de diferentes teorías gauge para entender mejor la sensitividad de los resultados clave a las diferencias entre dichas teorías. Han aprendido que algunas teorías tienen cocientes η/s más pequeños que los conjeturados por KSS de 1/4π · ℏ/kB. Ese valor, por tanto, no debería ser considerado un límite absoluto sino más bien una contribución universal a la expansión en los parámetros 1/Nc y el acoplamiento de ‘t Hooft. Puede llevar un tiempo que los teóricos encuentres duales holográficos exactos de sistemas experimentales, así que se están enfocando en entender mejor dichas cantidades físicas, calculables con los modelos físicos actualmente accesibles, que no dependen fuertemente de los detalles. Quizás, esta vía revele un tipo de universalidad que explique por qué los cálculos funcionan tan bien.

Los agujeros negros son objetos bastante universales en el sentido que se caracterizan por unos pocos parámetros, como la masa, la carga y el momento angular. Por tanto, todos los sistemas gravitacionales, y en consecuencia, sus diferentes teorías no gravitacionales duales -de lo ultrafrío a lo ultracaliente- deberían tener su física térmica controlada por la misma dinámica básica de los agujeros negros. Si futuros trabajos experimentales y teóricos refuerzan la conexión entre sistemas fuertemente interactuantes y la teoría de cuerdas, y si la universalidad resulta ser robusta, entonces, los físicos tendrán un conjunto de conceptos y herramientas poderoso con el que explorar una nueva clase de fenómenos experimentalmente accesibles.

Clifford V. Johnson es profesor en el departamento de física y astronomía en la universidad University of California del Sur, en Los Ángeles. Peter Steinberg es físico en el LAboratorio Nacional Brookhaven en Upton, New York.

Breve glosario:

Elementos de matriz: en mecánica cuántica, los elementos de matriz de las transiciones dan la probabilidad de que dichas transiciones, o más generalmente, interacciones se den. La mecánica cuántica predice, entre otras cosas, las probabilidades de que las interacciones ocurran, que es algo que se puede medir experimentalmente. Se habla de elementos de matriz porque la mecánica cuántica se puede formular con matrices, usando álgebra matricial.

Libertad asintótica: propiedad por la cual los quarks están débilmente ligados cuando se encuentran muy cerca y más fuertemente ligados a medida que se separan, hasta llegar un punto en el que la energía es tan alta, que se generan automáticamente un par quark-antiquark. De este modo, no se puede aislar un quark de otro. Y siempre aparecen juntos.

Gradiente (de una función): el gradiente nos dice cómo varía una función con la dirección, en cada punto del espacio.

Valores esperados: estos valores son predicciones que hace la mecánica cuántica y también se conocen con el nombre de valores medios. Son cantidades en principio observables y dan el valor medio que se obtendría si se realizaran muchas medidas del sistema en un mismo estado.

Referencias

1. 1. S. Aronson, T. Ludlam, Hunting the Quark Gluon Plasma: Results from the First 3 Years at RHIC, rep. no. BNL-73847-2005, Brookhaven National Laboratory, Upton, NY (April 2005), available at http://www.bnl.gov/npp/docs/Hunting the QGP.pdf.
2. 2. A. Turlapov et al., J. Low Temp. Phys. 150, 567 (2008) .
3. 3. M. Müller, J. Schmalian, L. Fritz, Phys. Rev. Lett. 103, 025301 (2009) [MEDLINE].
4. 4. G. ’t Hooft, in Salamfestschrift: A Collection of Talks from the Conference on Highlights of Particle and Condensed Matter Physics, A. Ali, J. Ellis, S. Randjbar-Daemi, eds., World Scientific, River Edge, NJ (1994), p. 284.
5. 5. L. Susskind, J. Math. Phys. 36, 6377 (1995) [SPIN].
6. 6. S. W. Hawking, Nature 248, 30 (1974) [INSPEC].
7. 7. J. D. Bekenstein, Phys. Rev. D 7, 2333 (1973) [SPIN].
8. 8. J. M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998); E. Witten, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998); S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov, Phys. Lett. B 428, 105 (1998) .
9. 9. P. Kovtun, D. T. Son, A. O. Starinets, J. High Energy Phys. 2003(10), 064 (2003); Phys. Rev. Lett. 94, 111601 (2005) [MEDLINE].
10. 10. G. Policastro, D. T. Son, A. O. Starinets, Phys. Rev. Lett. 87, 081601 (2001) [MEDLINE].


Autor: Clifford V. Johnson y Peter Steinberg
Fecha Original: mayo de 2010
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