Nueva teoría revela la naturaleza de los números

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Durante siglos, algunos de los más grandes nombre de las matemáticas han tratado de dar sentido a las particiones de un número, la base para sumar y contar. Muchos matemáticos añadieron piezas importantes al puzzle, pero todos se quedaron cortos al tratar de ofrecer una teoría completa que explicase las particiones. En lugar de eso, su trabajo generó más preguntas sobre esta área fundamental de las matemáticas.

El viernes, el matemático de la Universidad de Emory, Ken Ono, desvelará nuevas teorías que responden a estas famosas y antiguas preguntas.

Ken Ono


Ono y su equipo de investigación ha descubierto que las particiones de un número se comportan como fractales. Has desbloqueado las propiedades de divisibilidad de las particiones, y desarrollado una teoría matemática para “ver” su súper-estructura infinitamente repetitiva. Y han ideado la primera fórmula finita para calcular las particiones de cualquier número.

“Nuestro trabajo trae ideas completamente nuevas a estos problemas”, dice Ono, que explicará los hallazgos en una charla pública el viernes a las 8 p.m. en el campus de Emory. “Hemos demostrado que las particiones de números son ‘fractales’ para cada primo. Estos números, de forma precisa, son auto-similares de una manera impactante. Nuestro procedimiento de “aumento” resuelve varias conjeturas abiertas, y cambiará la forma en que los matemáticos estudian las particiones”.

El trabajo fue patrocinado por el Instituto Americano de Matemáticas (AIM) y la Fundación Nacional de Ciencia. El año pasado, AIM reunió a los expertos mundiales en particiones, incluyendo a Ono, para abordar algunas de las grandes preguntas restantes en el campo. Ono, catedrático en Emory y de la Universidad de Wisconsin en Madison, lideró un equipo que contaba con Jan Bruinier, de la Universidad Técnica de Darmstadt en Alemania; Amanda Folsom, de Yale; y Zach Kent, becario de posdoctorado en Emory.

“Ken Ono ha logrado unos avances absolutamente sobrecogedores en la teoría de particiones”, dice George Andrews, profesor de la Universidad Estatal de Pennsylvania y presidente de la Sociedad Matemática Americana. “Demostró propiedades de divisibilidad de la función de partición básica que son asombrosas. Y luego proporcionó una súper-estructura que nadie habría predicho hace unos años. Es un fenómeno”.

Un juego de niños

A primera vista, las particiones de números parecen un juego de niños. La partición de un número es una secuencia de enteros positivos que se suman para formar ese número. Por ejemplo, 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1. Por lo que decimos que hay 5 particiones para el número 4.

Suena simple, y aún así la partición de números crece a un ritmo increíble. La cantidad de particiones de 10 es 42. Para el número 100, la partición explota a más de 190 millones.

“La partición de números es una loca secuencia de enteros que rápidamente se va a infinito”, dice Ono. “Esta provocadora secuencia genera asombro, y ha fascinado desde hace mucho a los matemáticos”.

Por definición, la partición de números es asombrosamente simple. Pero hasta el avance del equipo de Ono, nadie había sido capaz de desvelar el secreto del patrón complejo subyacente a este rápido crecimiento.

El trabajo del matemático del siglo XVII, Leonhard Euler, llevó a la primera técnica recursiva para el cálculo de los valores de partición de números. El método, sin embargo, era lento y poco práctico para números grandes. En los siguientes 150 años, el método sólo se implementó con éxito para calcula las primeras 200 particiones de números.

“En el universo matemático, esto es como no ser capaz de ver más allá de Marte”, dice Ono.

Un telescopio matemático

A principios del siglo XX, Srinivasa Ramanujan y G. H. Hardy inventaron el método del círculo, el cual arrojaba la primera buena aproximación a las particiones de números por encima de 200. Básicamente, abandonaron la idea de intentar una respuesta exacta, y se centraron en dar una nueva aproximación.

“Es como Galileo inventando el telescopio, permitiéndote ver más allá de lo que se ve a simple vista, incluso aunque la visión pueda ser tenue”, comenta Ono.

Ramanujan también notó algunos patrones extraños en la partición de números. En 1919 escribió: “Parece haber propiedades correspondientes en las que los módulos son potencias de 5, 7 u 11 … y ninguna propiedad simple para ningún módulo que implique primos aparte de estos tres”.

El legendario matemático indio falleció a la edad de 32 años, antes de que pudiese explicar qué significaba esta misteriosa cita, ahora conocida como congruencias de Ramanujan.

En 1937, Hans Rademacher encontró una fórmula exacta para el cálculo de valores de particiones. Aunque el método era una gran mejora respecto a la fórmula exacta de Euler, requería sumar infinitamente muchos números que tienen infinitas cifras decimales. “Estos son números desorbitados”, señala Ono.

En las siguientes décadas, los matemáticos han seguido trabajando sobre estos avances, añadiendo más piezas al puzzle. A pesar de los avances, fueron incapaces de comprender las enigmáticas palabras de Ramanujan, o de encontrar una fórmula finita para la partición de número.

El “dream team” de Ono batalló con los problemas durante meses. “Todo lo que intentábamos fallaba”, dice.

El momento eureka tuvo lugar en septiembre, cuando Ono y Zach Kent estaban de excursión en las Cataratas Tallulah en el norte de Georgia. Cuando andaba entre los bosques, notando los patrones en los cúmulos de árboles, Ono y Kent empezaron a pensar que podría ser similar a “andar” entre las particiones de números.

“Estábamos allí de pie en algunas enormes rocas, donde podíamos ver por encima del valle y oír las cascadas, cuando nos dimos cuenta de que las particiones de números son fractales”, dice Ono. “Ambos empezamos a reír”.

El término fractal fue inventado en 1980 por Benoit Mandelbrot, para describir lo que parecen irregularidades en la geometría de formas naturales. Cuanto más se aumenta la visión sobre las formas naturales “bastas”, más claro queda que realmente son patrones repetidos. Los fractales no son solamente hermosos; tienen un inmenso valor práctico en campos tan diversos como el arte o la medicina.

Su excursión inició una teoría que revela una nueva clase de fractales, una que acaba con el problema del infinito para las particiones de números. “Es como si no necesitásemos ver todas las estrellas del universo, debido a que el patrón que se sigue repitiendo para siempre puede verse en una caminata de diez kilómetros a las Cataratas Tallulah”, dice Ono.

Las congruencias de Ramanujan se explican mediante la teoría fractal. El equipo también demostró que las propiedades de divisibilidad de las particiones de números son “fractales” para cada primo. “Las secuencias son todas finalmente periódicas, y se repiten a lo largo de intervalos precisos”, dice Ono. “Es como aumentar el conjunto de Mandelbrot”, añade, refiriéndose a los fractales más famosos de todos.

Pero esta extraordinaria visión de la súper-estructura de la partición de números no era suficiente. El equipo estaba determinado a ir más allá de simples teorías y llegar a una fórmula que pudiese implementarse en el mundo real.

El momento eureka final tuvo lugar en otro lugar emblemático de Georgia: el Cruce Spaghetti. Ono y Jan Bruinier estaba atascados en la carretera cerca de un famoso cruce de Atlanta. Mientras hablaban en el coche, llegaron a una forma de superar el método de complejidad infinita de Rademacher. Pasaron a demostrar una fórmula que requiere sólo muchos números simples finitos.

“Encontramos una función, a la que llamamos P, que es como el oráculo mágico”, señala Ono. “Puedo tomar cualquier número, meterlo en P, e instantáneamente calcular las particiones de ese número. P no retorna números desorbitados con infinitas cifras decimales. Es la fórmula algebraica finita que hemos estado buscando”.

El trabajo de Ono y sus colegas dio como resultado dos artículos que estarán pronto disponibles en el sitio web de la AIM.


Autor: Carol Clark
Fecha Original: 20 de enero de 2011
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