Nueva teoría revela la naturaleza de los números

Durante siglos, algunos de los más grandes nombre de las matemáticas han tratado de dar sentido a las particiones de un número, la base para sumar y contar. Muchos matemáticos añadieron piezas importantes al puzzle, pero todos se quedaron cortos al tratar de ofrecer una teoría completa que explicase las particiones. En lugar de eso, su trabajo generó más preguntas sobre esta área fundamental de las matemáticas.

El viernes, el matemático de la Universidad de Emory, Ken Ono, desvelará nuevas teorías que responden a estas famosas y antiguas preguntas.

Ken Ono


Ono y su equipo de investigación ha descubierto que las particiones de un número se comportan como fractales. Has desbloqueado las propiedades de divisibilidad de las particiones, y desarrollado una teoría matemática para “ver” su súper-estructura infinitamente repetitiva. Y han ideado la primera fórmula finita para calcular las particiones de cualquier número.

“Nuestro trabajo trae ideas completamente nuevas a estos problemas”, dice Ono, que explicará los hallazgos en una charla pública el viernes a las 8 p.m. en el campus de Emory. “Hemos demostrado que las particiones de números son ‘fractales’ para cada primo. Estos números, de forma precisa, son auto-similares de una manera impactante. Nuestro procedimiento de “aumento” resuelve varias conjeturas abiertas, y cambiará la forma en que los matemáticos estudian las particiones”.

El trabajo fue patrocinado por el Instituto Americano de Matemáticas (AIM) y la Fundación Nacional de Ciencia. El año pasado, AIM reunió a los expertos mundiales en particiones, incluyendo a Ono, para abordar algunas de las grandes preguntas restantes en el campo. Ono, catedrático en Emory y de la Universidad de Wisconsin en Madison, lideró un equipo que contaba con Jan Bruinier, de la Universidad Técnica de Darmstadt en Alemania; Amanda Folsom, de Yale; y Zach Kent, becario de posdoctorado en Emory.

“Ken Ono ha logrado unos avances absolutamente sobrecogedores en la teoría de particiones”, dice George Andrews, profesor de la Universidad Estatal de Pennsylvania y presidente de la Sociedad Matemática Americana. “Demostró propiedades de divisibilidad de la función de partición básica que son asombrosas. Y luego proporcionó una súper-estructura que nadie habría predicho hace unos años. Es un fenómeno”.

Un juego de niños

A primera vista, las particiones de números parecen un juego de niños. La partición de un número es una secuencia de enteros positivos que se suman para formar ese número. Por ejemplo, 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1. Por lo que decimos que hay 5 particiones para el número 4.

Suena simple, y aún así la partición de números crece a un ritmo increíble. La cantidad de particiones de 10 es 42. Para el número 100, la partición explota a más de 190 millones.

“La partición de números es una loca secuencia de enteros que rápidamente se va a infinito”, dice Ono. “Esta provocadora secuencia genera asombro, y ha fascinado desde hace mucho a los matemáticos”.

Por definición, la partición de números es asombrosamente simple. Pero hasta el avance del equipo de Ono, nadie había sido capaz de desvelar el secreto del patrón complejo subyacente a este rápido crecimiento.

El trabajo del matemático del siglo XVII, Leonhard Euler, llevó a la primera técnica recursiva para el cálculo de los valores de partición de números. El método, sin embargo, era lento y poco práctico para números grandes. En los siguientes 150 años, el método sólo se implementó con éxito para calcula las primeras 200 particiones de números.

“En el universo matemático, esto es como no ser capaz de ver más allá de Marte”, dice Ono.

Un telescopio matemático

A principios del siglo XX, Srinivasa Ramanujan y G. H. Hardy inventaron el método del círculo, el cual arrojaba la primera buena aproximación a las particiones de números por encima de 200. Básicamente, abandonaron la idea de intentar una respuesta exacta, y se centraron en dar una nueva aproximación.

“Es como Galileo inventando el telescopio, permitiéndote ver más allá de lo que se ve a simple vista, incluso aunque la visión pueda ser tenue”, comenta Ono.

Ramanujan también notó algunos patrones extraños en la partición de números. En 1919 escribió: “Parece haber propiedades correspondientes en las que los módulos son potencias de 5, 7 u 11 … y ninguna propiedad simple para ningún módulo que implique primos aparte de estos tres”.

El legendario matemático indio falleció a la edad de 32 años, antes de que pudiese explicar qué significaba esta misteriosa cita, ahora conocida como congruencias de Ramanujan.

En 1937, Hans Rademacher encontró una fórmula exacta para el cálculo de valores de particiones. Aunque el método era una gran mejora respecto a la fórmula exacta de Euler, requería sumar infinitamente muchos números que tienen infinitas cifras decimales. “Estos son números desorbitados”, señala Ono.

En las siguientes décadas, los matemáticos han seguido trabajando sobre estos avances, añadiendo más piezas al puzzle. A pesar de los avances, fueron incapaces de comprender las enigmáticas palabras de Ramanujan, o de encontrar una fórmula finita para la partición de número.

El “dream team” de Ono batalló con los problemas durante meses. “Todo lo que intentábamos fallaba”, dice.

El momento eureka tuvo lugar en septiembre, cuando Ono y Zach Kent estaban de excursión en las Cataratas Tallulah en el norte de Georgia. Cuando andaba entre los bosques, notando los patrones en los cúmulos de árboles, Ono y Kent empezaron a pensar que podría ser similar a “andar” entre las particiones de números.

“Estábamos allí de pie en algunas enormes rocas, donde podíamos ver por encima del valle y oír las cascadas, cuando nos dimos cuenta de que las particiones de números son fractales”, dice Ono. “Ambos empezamos a reír”.

El término fractal fue inventado en 1980 por Benoit Mandelbrot, para describir lo que parecen irregularidades en la geometría de formas naturales. Cuanto más se aumenta la visión sobre las formas naturales “bastas”, más claro queda que realmente son patrones repetidos. Los fractales no son solamente hermosos; tienen un inmenso valor práctico en campos tan diversos como el arte o la medicina.

Su excursión inició una teoría que revela una nueva clase de fractales, una que acaba con el problema del infinito para las particiones de números. “Es como si no necesitásemos ver todas las estrellas del universo, debido a que el patrón que se sigue repitiendo para siempre puede verse en una caminata de diez kilómetros a las Cataratas Tallulah”, dice Ono.

Las congruencias de Ramanujan se explican mediante la teoría fractal. El equipo también demostró que las propiedades de divisibilidad de las particiones de números son “fractales” para cada primo. “Las secuencias son todas finalmente periódicas, y se repiten a lo largo de intervalos precisos”, dice Ono. “Es como aumentar el conjunto de Mandelbrot”, añade, refiriéndose a los fractales más famosos de todos.

Pero esta extraordinaria visión de la súper-estructura de la partición de números no era suficiente. El equipo estaba determinado a ir más allá de simples teorías y llegar a una fórmula que pudiese implementarse en el mundo real.

El momento eureka final tuvo lugar en otro lugar emblemático de Georgia: el Cruce Spaghetti. Ono y Jan Bruinier estaba atascados en la carretera cerca de un famoso cruce de Atlanta. Mientras hablaban en el coche, llegaron a una forma de superar el método de complejidad infinita de Rademacher. Pasaron a demostrar una fórmula que requiere sólo muchos números simples finitos.

“Encontramos una función, a la que llamamos P, que es como el oráculo mágico”, señala Ono. “Puedo tomar cualquier número, meterlo en P, e instantáneamente calcular las particiones de ese número. P no retorna números desorbitados con infinitas cifras decimales. Es la fórmula algebraica finita que hemos estado buscando”.

El trabajo de Ono y sus colegas dio como resultado dos artículos que estarán pronto disponibles en el sitio web de la AIM.


Autor: Carol Clark
Fecha Original: 20 de enero de 2011
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Comments (30)

  1. Información Bitacoras.com…

    Valora en Bitacoras.com: Durante siglos, algunos de los más grandes nombre de las matemáticas, han tratado de dar sentido a las particiones de un número, la base para sumar y contar. Muchos matemáticos añadieron piezas importantes al puzzle, pero tod…..

  2. [...] This post was mentioned on Twitter by Ciências Exactas, Bruno Jiménez, Cristóbal Est., Daniel Valcarce, Domingo Subero and others. Domingo Subero said: RT @Dr_Skepticus: CK: Nueva teoría revela la naturaleza de los números http://bit.ly/f0cctB Full http://bit.ly/ifmptM [...]

  3. [...] Nueva teoría revela la naturaleza de los números http://www.cienciakanija.com/2011/01/21/nueva-teoria-revela-la-n…  por spidermanzano hace 3 segundos [...]

  4. Wow! Fantástica noticia y fantástico artículo.

    ¡Gracias!

  5. De confirmarse este resultado pienso que sería el mayor avance en teoría de números de los últimos decenios y el mayor logro matemático desde que Perelman colgase en 2003 sus trabajos que demostraron la conjetura de Poincaré. La teoría de números trata de encontrar relaciones profundas y explicaciones generales sobre las entidades que forman el nucleo de las matemáticas (y por tanto de como funciona el universo): los números. Descubrir que en el corazón de las relaciones entre números se esconden patrones fractales puede arrojar mucha luz sobre que son y que significan realmente los números y las operaciones matemáticas. Las consecuencias de este trabajo pueden ser muy importantes y deberán ser analizadas por los matemáticos. Quizás se descubran nuevos caminos matemáticos como formas de dominar infinitos números a través de fractales.

  6. J

    ¿Cómo puede dar cifras decimales si se trata de sumas de naturales positivos?

    • Nietzsche

      Eso mismo me preguntaba yo ;)

    • La función de Rademacher es una serie infinita convergente que da el valor exacto (entero) de la función de partición p(n) pero sus términos son reales. Al truncar esta serie para sumarla se obtiene un número real que ha de ser redondeado al entero más próximo para obtener el valor p(n), si se acota que el resto de la serie tiene un valor real menor de 1/2.

  7. OzzyBulla

    Entonces…….¿conoceremos Pi? ¿Y que tal si calculamos Pi en 21 de noviembre del 2012?, jaja…para los que vieron Fe en el Caos

  8. Milton

    Por cierto, se que en alguna ocasión has posteado sobre la fusión fria. Supongo que sabrás que corre por internet en estos momenos lo de la Universidad de Bolonia con el experimente Focardi-Rossi. ¿Podrias darnos tú opiniòn al respecto?

  9. Como siempre, no adelantemos acontecimientos. Cuando se publique ya habrá especialistas que nos comentarán su trascendencia… Aunque la conexión con los fractales apunta un punto de vista muy sugerente. Saludos:
    Alejamdro Álvarez

  10. jcirigoien

    Horas de estudio académico encerrados y al final la solución viene en una excursión al bosque y en un atasco de tráfico. Asombroso.

  11. [...] This post was mentioned on Twitter by Carlos Soler, P.D.O. P.D.O said: Nueva teotría revela la naturaleza de los númros. http://xurl.es/3i5em [...]

  12. [...] teoría que revela la naturaleza de los números?! Kanijo, “Nueva teoría revela la naturaleza de los números,” Ciencia Kanija, 21 ene. 2011, que traduce a Carol Clark, “New theories reveal the [...]

    • Sergio

      Vale para comprender la naturaleza de los numeros, y por tanto, de la naturaleza, ya que sus leyes usan matematicas y numeros.

      Igual al final sirve para hacer microondas 1000 veces mas eficientes, o poder hacer ordenadores cuanticos facilmente, o para viajar al pasado, o vete tu a saber, es imposible predecirlo ahora porque aun no entendemos de que estamos hablando, y ese es justo el problema que soluciona entender las matematicas.

      Saber matematicas es comos saber leer la naturaleza, y hasta que no sabes, no tienes idea de que te vas a encontrar, como cuando empiezas a leer un buen libro .

    • Como muy bien dice Sergio las matemáticas son el lenguaje que utiliza la naturaleza para revelarnos sus secretos más íntimos. El universo funciona según leyes matemáticas y las matemáticas funcionan según interacciones lógicas entre números. Por esto estudiar los números es estudiar el núcleo mismo de las matemáticas y por tanto de la naturaleza. Es verdad que es muy difícil evaluar las consecuencias o el alcance de los avances matemáticos en el momento en que se producen, muchos de estos avances tienen un valor incalculable: los avances de Alan Turing permitieron nada menos que construir ordenadores (además de contribuir de forma decisiva a ganar la II guerra mundial al descifrar el código secreto que usaban los nazis), La relatividad de Einstein permitió a la cosmología consolidarse como ciencia, etc, etc etc.
      Es muy posible que el cerebro mismo funcione con cálculos matemáticos complejos (quizás esta sea una de las razones de por que tenemos una habilidad intuitiva para las matemáticas). Los científicos sospechan que el cerebro utiliza cálculos matemáticos heurísticos para optimizar y filtrar de forma óptima el enorme volumen de datos que recibe cada segundo. Aunque aun estamos muy lejos de saber como funciona el cerebro se pueden extraer pautas generales o incluso “intuir”el origen de sus “defectos o subjetividades”: Pruebas de defectos o prejuicios en el pensamiento humano
      Un saludo

  13. [...] su trabajo generó más preguntas sobre esta área fundamental de las matemáticas. En español: cienciakanija.com/2011/01/21/nueva-teoria-revela-la-naturaleza-de-los-/  sin comentarios cultura, ciencia karma: 20 etiquetas: teoría, naturaleza de los [...]

  14. José Antonio Palos

    Saludos Excelente post de anticipación Kanijo.
    GraciasTambién gracias a OTO etAl. por tan poderoso “DESCUBRIMIENTO”, ya estaba ahí, ignoto pero anhelado por “todos” 200 años ha…
    Alguien comenta:
    “Las soluciones vienen cuando te despejas (o despegas) del problema.
    También”.
    “Las consecuencias de este trabajo pueden ser muy importantes y deberán ser analizadas por los matemáticos”.
    Y a mi parecer el más visionario dice:
    “Aunque la conexión con los fractales apunta un punto de vista muy sugerente. Saludos:
    Alejamdro Álvarez”.
    Con Benoît Mandelbrot recién muerto, tal vez “la dirección hacia donde se puede percbir que apunta tan formidable descubrimiento” sea por fin entender el fenómeno holgráfico como una foma particlar de el natural desenvolvimiento fractal en el espacio-tiempo de los componentes energéticos mesurables del mismo espacio-tiempo, solo que usando fractales de dimensiones mayores de 3D y menores a 4D.
    Esto se puede entender como una nueva aproximación a la realidad holokinética de Wheeler, Bhom, et Al.
    Si entendemos que los números son signos de interpretación de una idea que entendemos como cantidad de algo percibido como diferenciable, con un mesurable, y esa cantidad significada se relaciona con todas las otras en forma, en ratio, en relación holofractal, no es de sorprenderse que sea de Naturaleza Fractal Fórmula que representa Ç(Significa) la cilicidad de los números (La manera en que se dan las iteraciones entre sus particiones y/o compnentes), mismos números que representan la cantidad de las repeticiones, representan formula y números en ella la iteracion de los mesurables (las cantidades perceptibles y recordables en vigilia, ya veces en sueño) en número y ratio particular, en esta caso para el modo en que se secuencian (Fractalmente) las particiones de los números.
    Otra vez nos acercamos a comprender que no es comprensible, significable, lo Infinito, mas nos podemos acercar entendiendolo como inconmensurables series de “operaciones fisicas” entre mesurables.
    Sigo insistiendo que es mas fácil entender cada mesurable, cada idea de número como cantidad o representación de cantidad, como una fracción del todo, de lo UNO, es decir 1= 1/(NTM) donde NTM es Número total de Mesurables, ya como particulas y/o como iteraciones entre particula, ya sean estos las unidades básicas “mesurables” de la energía y materia oscuras mas quarks y gluones del Big Bang hasta la fecha.
    Los números no son antes que notros los humanos que los inventamos como símbolo o signo representativo de lo percibido-mesurable y luego inventamos las matemáticas para representar las relaciones ratios entre lo que recordamos que se puede repetir como respuesta mesurable estándar.
    Nuestra “Natural” tendencia a creer que el mapa que inventamos-hacemos como representativo del territorio, es el territorio ya preocupaba a Platón hace unos años.
    Parece ser que las partículas mesurables representadas como número (los componetes que recordamos de la realidad fisica) iteraccionan, se relacionan entre si física y biológicamente de una manera describible fractalmente, haciéndolo en una dimensión mayor a 3D en el Espacio Tiempo, mas la siempre misteriosa y mística memoria y la capacidad de ser espectador de la misma, y desde antes que los pudiéramos interpretar ya como números y fórmulas, teoremas y leyes, principios, axiomas y dogmas.
    Al parecer al fin, la información, el modo de comprender “llegó” a ellos al observar, la percibieron, se contagiaron de la naturaleza de la naturaleza (Les habló la Physys), lejos de los rimbombantes nombres que ocultan en leyes y teoremas de X o Y persona, una descripción del lo que legislan y sirven como método de apropiación “infarnqueable” de la interpretación de la realidad, desde Lord Kelvin que no se llamaba así hasta “Lo que Newton y Einstein Dicen en sus leyes Después de Muerto” y que Natura, La Physys, “Tiene que obedecerles”, son SUS LEYES!!! So pena de que se le quite el presupuesto o, peor aun, se le excomulge por andar de “Natural” (Entiendase “Bastarda” DE SI MISMA, en sus ratios-matematicos mas intimos).
    “Y sin embargo, *Yo Observo*, Como ustedes lo hacen, que se mueve”.
    Apropiacion de la última “bravata” de Galileo.

    • Creo que no te he entendido muy bien. A veces volviendo a leer un texto consigues una idea más clara de lo que se quiere decir no se si este será el caso. A lo mejor no.

    • NewZealander

      José Antonio Palos, ¿Te molestas en leer lo que escribes o tan siquiera darle el mínimo sentido?
      No creo que haya nadie más magufo que tú.
      Un saludo

    • Carlus

      Esto mismo llevo yo diciendomelo cada mañana cuando me levanto desde hace años. Gracias por aportar tanta claridad y “brevura” a mis pensamientos.

  15. Ah kanijos estos, empezamos a dislucidar las matemàticas y terminamos escudriñando el cosmo, es porque las matemàticas lo es todo, como una vez afirmara Pitàgora.

  16. sharkoma

    muy mesurable todo.

    fractatuillll

  17. Hector04

    Han pisoteado a Euler como han querido, siendo uno de los mas grandes mateméticos de todos los tiempos todo porque apareció ese tal Ramanujan
    en escena y lo cambio todo, si hasta poincare y fermat sucumbieron ante el,
    no me extraña entonces que Ono lo haya tomado como su escudo y espada para crear tan bella teoria que debe aplaudirse una vez demostrada.
    ese Ramanujan me recuerda al hombre que calculaba.

  18. Carlos

    Es sorpresivo que todavía se hable así: “Saber matematicas es comos saber leer la naturaleza, y hasta que no sabes, no tienes idea de que te vas a encontrar, como cuando empiezas a leer un buen libro .” Tomo lo escrito por Sergio sólo como ejemplificador de lo que señalo, pero se aplica al artículo, porque que subyace la idea de eso estaba ahí esperando a que lo veamos. Creo que esa idea del conocimiento y de la verdad ya está bastaaante pasada de moda, y no por moda, sino por los planteos, no sólo epistemológicos sino racionalistas como de Popper, los han superado.

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