Bosones y fermiones, esos famosos desconocidos.

Muchas veces leemos en textos divulgativos que las partículas son fermiones o bosones y que eso es muy importante, principalmente porque los fermiones satisfacen el Principio de exclusión de Pauli y los bosones no.  Es decir, dos o más fermiones no pueden estar en el mismo estado y sin embargo los bosones sí pueden.

Esto da lugar a curiosos y determinantes fenómenos que configuran la forma de comportarse de nuestro universo.  Por decir alguno, el principio de exclusión de Pauli controla cómo se llenan los orbitales atómicos, lo cual determina la química en alto grado.  Y para los bosones, que pueden estar todos en el mismo estado, permite que haya cosas como los condensados de Bose-Einstein.

En esta entrada lo único que nos proponemos es clarificar qué es un fermión y qué es un bosón y explicar de dónde sale el Principio de exclusión de Pauli.  Y para hacer eso lo primero que tenemos que hacer es explicar un poco qué es el espín de una partícula.

El espín

Las partículas están fundamentalmente caracterizadas por su masa y su carga.  El electrón es un electrón porque es una partícula que tiene la masa del electrón y la carga del electrón (por supuesto existen otras cargas, la carga de color que controla la interacción fuerte, el sabor, etc.).  Pero además de esto se descubre que las partículas tienen otra propiedad denominada espín. Ésta es una característica inherente a las partículas, como su masa o su carga.  Esta característica no tiene análogo clásico, es decir, desde el punto de vista no cuántico el espín de las partículas es irrelevante.  Se puede buscar la analogía con un giro de la partícula sobre sí misma, pero la analogía es limitada y por supuesto incorrecta.  Así que en vez de hablar de giros simplemente asumiremos que una partícula viene determinada por su masa, su carga y su espín.

El espín tiene su importancia ya que la distinción entre fermiones y bosones se basa en los valores que puede tomar esta característica.  El espín se mide en unidades de la constante de Planck:

\hbar=\frac{h}{2\pi}

 

y los valores que puede tomar son 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2,…  Así podemos decir:

Los fermiones son las partículas con espín semientero y los bosones son las partículas con espín entero.

¿Y eso qué implica?, ¿por qué dos o más fermiones no pueden estar en el mismo estado y los bosones sí?

Esta pregunta se resuelve fácilmente mediante un teorema, se llama teorema espín-estadística.  No entraremos a formular el teorema ni su demostración, aunque  es muy divertido, pero lo enunciaremos y pondremos un simple ejemplo (totalmente inventado) para ver qué implica.

Teorema Espín-Estadística

Si tenemos dos partículas fermiónicas el estado total de ambas partículas se escribirá como una combinación antisimétrica de los estados individuales de cada una de ellas.

Si tenemos dos partículas bosónicas el estado total de ambas partículas se escribirá como una combinación simétrica de los estados individuales de cada una de ellas.

Inventemos una característica imaginaria, pura fantasía, pero que servirá para capturar la esencia de todo esto.

Supongamos que tenemos una partícula y que el estado de tal partícula es ser peluda o ser calva.

Si tengo dos partículas entonces está claro que las combinaciones son:

1º partícula peluda – 2º partícula peluda
1º partícula peluda – 2º partícula calva
1º partícula calva – 2º partícula peluda
1º partícula calva – 2º partícula calva

Si las partículas son fermiones el teorema espín-estadística nos dice que el estado total tiene que ser antisimétrico.  ¿Y eso cómo se come?

Eso es fácil, un estado es antisimétrico cuando al cambiar la característica de interés de la partícula 1 a la 2 el estado cambia de signo.  Así que sólo nos queda una opción en este ejemplo inventado:

|Estado_{total}\rangle=|1 peluda\rangle |2 calva\rangle -|1 calva\rangle |2 peluda\rangle

 

Si intercambiamos la característica de 1 a 2 y viceversa nos queda:

|Estado_{total}'\rangle = |1 calva\rangle |2 peluda\rangle -|1 peluda\rangle |2 calva\rangle

 

Pero observemos que:

|Estado_{total}'\rangle = |1 calva\rangle |2 peluda\rangle -|1 peluda\rangle |2 calva\rangle = -\left(|1 peluda\rangle |2 calva\rangle -|1 calva\rangle |2 peluda\rangle\right)=-|Estado_{total}\rangle

Análogamente los bosones tienen que ser combinaciones simétricas, y suponemos que ahora no será fácil de imaginar que dichas combinaciones son las que no cambian de signo al cambiar la característica de interés de la partícula 1 a la 2 y viceversa.

Por lo tanto, para bosones tendremos:

|Estado_{total}\rangle = |1 peluda\rangle |2 calva\rangle +|1 calva\rangle |2 peluda\rangle

Si ahora cambiamos de 1 a 2 y viceversa lo que encontramos es que el nuevo estado es:

|Estado_{total}'\rangle = |1 calva\rangle |2 peluda\rangle +|1 peluda\rangle |2 calva\rangle = \left(|1 peluda\rangle |2 calva\rangle -|1 calva\rangle |2 peluda\rangle\right)=|Estado_{total}\rangle

Así que no hay cambio de signo alguno.

Principio de Exclusión de Pauli

Como hemos dicho, y seguro que lo habéis leido por ahí o incluso estudiado, el principio de exclusión de Pauli nos dice:

Dos o más fermiones no pueden estar en el mismo estado.

Ahora podemos ver que eso es así, sin más que mirar qué le pasa al estado total de un par de fermiones cuando imponemos que estén en el mismo estado.  Elijamos que queremos que ambos fermiones sean peludos.

|Estado_{total}'\rangle = |1 peluda\rangle |2 peluda\rangle -|1 peluda\rangle |2 peluda\rangle =0

Efectivamente el estado da cero, no existe, no se pueden tener dos fermiones en dicho estado.  Y esto es fundamental para el comportamiento de la materia que nos rodea, que está controlada fundamentalmente por electrones y los electrones son fermiones.

De hecho si forzamos a los fermiones a estar en el mismo estado aparece una fuerza de repulsión que se opone a que los fermiones estén todos en el mismo estado.  Este proceso es fundamental para entender la estructura de las estrellas de neutrones y de las enanas blancas. Os recomendamos que busquéis información al respecto y a la vista de esta entrada veréis como todo adquiere un nuevo sentido.

Para los bosones esto no aplica, a los bosones no les importa estar todos en el mismo estado y de hecho muchas veces lo prefieren, y esto da lugar a cosas tan espectaculares como los condensados de Bose-Einstein.  Pero esta es otra historia…


Para cualquier comentario, apreciación, crítica o pregunta no dudéis en pasaros por el nuevo foro oficial de Ciencia Kanija vinculado con http://cuentos-cuanticos.es/smf

Enrique es un convencido de que cualquiera puede entender la física. Consumidor irreverente de divulgación, blogs, foros, etc hace unos días decidió empezar a divulgar a su forma. Pudo engañar a unos amigos y se abrió Cuentos Cuánticos. Además, cuando tiene tiempo, hace cosas de física, pero sin agobiarse.

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Comments (25)

  1. Información Bitacoras.com…

    Valora en Bitacoras.com: Muchas veces leemos en textos divulgativos que las partículas son fermiones o bosones y que eso es muy importante, principalmente porque los fermiones satisfacen el Principio de exclusión de Pauli y los bosones no.  Es decir,…..

  2. buse

    Lo siento pero no ha quedado nada claro.

    1º- No uses partícula calva y peluda, usa roja y azul, A y B, Blanca y Negra, cosas así sencillas.
    2º- No metas esas fórmulas, esa nomenclatura lo que hace es que la gente que no la entiende se tire mil años leyendo para comprender que demonios significa que la palabra 1ºPeluda este entre | y >.
    3º- Has empezado bien con lo del spin, pero derepente has dicho que unos son simétricos y los otros asimétricos (porque yo lo valgo), porque lo dice un teorema, y luego sueltas “¿y esto como se come?” que implica “ahora viene una explicación” pero en lugar de eso sueltas una consecuencia…

    No te lo tomes mal, solo son críticas porque me parece que si se quiere explicar esto a gente que no sabe que es, no acaba de ser correcto el artículo.

  3. Hola,

    muchas gracias por los comentarios, me parecen fantásticos y siempre es bueno contar con otras opiniones para mejorar. En gran parte buse lleva razón en lo que comenta pero permitidme hacer algunas apreciaciones:

    1º Efectivamente lo de peluda y calva puede parecer extraño. Pero elegí estas etiquetas para mostrar que el argumento es válido para cualquier característica que se le pueda asignar a las partículas. Podría haber elegido hablar de posiciones de las partículas, que es lo más natural y como se introduce este tema en los libros, pero en mi opinión es mejor hablar en términos más generales. Así, peluda y calva, son simplemente etiquetas inventadas (y esto lo dejo claro en el texto) que indican cualquier estado posible de las partículas. Ya podríamos estar hablando de las posiciones de las mismas (estar en el punto A (= ser peluda) o estar en el punto B (=ser calva)), podríamos haber hablando de las diferentes orientaciones del espín (tener un espín +1/2 (=ser peluda) o tener un espín -1/2 (= ser calva). Pero consideré que lo mejor era poner algo genérico y no asociado con ninguna característica concreta de las partículas para mostrar que el resultado es totalmente general.

    También pensé en colores Rojo y Azul, Blanco y Negro, pero no me pareció oportuno porque es muy probable que un lector interesado en este tema haya leído ya que los quarks tienen una carga que se llama color (que puede ser rojo, azúl o verde) y eso presentaría una confusión sobre si esto aplica sólo a ese concepto o es más general.

    Es por todo esto que decidí usar peluda y calva.

    2º Sobre las fórmulas hay mucho que discutir, yo soy de la opinión que para divulgar hay que hacerlo sobre la base del lenguaje y la notación que usan los físicos de verdad y efectivamente los estados se representan por |Estado>. Así que es bueno presentar esto dejando claro que eso únicamente representa el posible estado de una partícula etiquetado por una característica que es potencialmente observable. No hemos dicho nada de que sean vectores de un Hilbert o autoestados de un operador hermítico ni nada por el estilo, pero en mi opinión personal hay que acercar también la notación a los que estén interesados. Así |1ºpeluda> significa que hay algún procedimiento para observar si la partícula tiene pelo o no y que el estado te dice si efectivamente lo tiene o no lo tiene y en este caso el estado te dice que la primera partícula lo tiene. No creo sinceramente que esto sea difícil de entender, y aunque suponga un esfuerzo, la divulgación no tiene que simplificar las cosas hasta tal extremo que se pierda la esencia, pero esto es una apreciación personal.

    3º Creo que en el texto está perfectamente aclarado que existe un teorema, es decir, algo que se puede probar matemáticamente (y que encima se comprueba experimentalmente) que te dice que los conjuntos de fermiones tienen un estado antisimétrico y los conjuntos de bosones tienen un estado total simétrico cuando lo escribo en términos de los estados individuales de cada partícula. No está sacado de la manga, pero se dice que el teorema sólo se enunciará y que se pondrá un ejemplo para ver como funciona y que implicaciones tiene. Y justamente eso es lo que hacemos. Con todo esto el objetivo es el siguiente:

    - Si ya sabes el teorema entonces seguramente esto sólo sea un ejemplo más o menos divertido de su funcionamiento.

    - Si no lo sabes pues entonces lo leerás y buscarás información si estás interesado. Pero por lo menos sabrás que existe algo que conlleva el principio de Exclusión de Pauli.

    Creo que he sido consistente:

    He dicho que voy a enunciar el teorema — Se ha enunciado.
    Se ha explicado lo que es simétrico y antisimétrico en este contexto gracias al ejemplo.
    Se ha llegado al principio de exclusión de Pauli.

    Como he dicho en otros sitios, personalmente prefiero tener la sensación de que no me he enterado de todo a tener la sensación de que me podría haber enterado de más.

    Por lo demás, este intercambio siempre es positivo y tanto este blog, como el mío y el foro están abiertos a cualquier comentario, crítica, apreciación, etc del que quiera aportar algo. Así que sinceramente muchas gracias por estas apreciaciones y espero haber aclarado algo la motivación de haber escrito esta entrada de esta forma. Cualquier otra postura siempre es enriquecedora.

    Muchas gracias.

    En http://cuentos-cuanticos.com está mi blog y ahí hay una introducción a la mecánica cuántica en dos partes así como otras entradas de física.

    En http://cuentos-cuanticos.es está el foro a disposición de todos los que quieran iniciar discusiones y unirse al proyecto de divulgación que acaba de empezar.

    Todo está por hacer, así que cualquier colaboración y participación es bienvenida.

    Un saludo

  4. Guillermo

    La Cuántica no es algo que lo les y dices “anda, me ha quedado claro” suele ser un área mas bien, complicada, y dificil de entender. Muchas cosas hay que “creerselas” literalmente porque requieren una gran capacidad de entendimiento. Como bien dijo en su día Bohr (creo que fue Bohr) “Si dices que has entendido algo de Cuántica es que no has entendido nada de nada”.

    P.D Soy estudiante de química cuántica y se de lo que hablo.

    • Creo que la cita de Bohr merece su contexto histórico, pero hoy en día ya no es cierta. La mecánica cuántica es contraintuitiva, sí, pero ya está. Ni siquiera matemáticamente es excesivamente complicada, son otras reglas y cuando acostumbras a tu mente a trabajar sin esos prejuicios, no es tan difícil.

      En física nuclear y de partículas el problema es que por un lado, no tenemos la descripción completa de los modelos y a veces hay que conformarse con descripciones fenomenológicas, para entender algunas desintegraciones o para entender asimetrías que se presentan en ellas dando preferencia a unas frente a otras cuando no debería ser así, etcétera.

      Ahora bien, la electrodinámica cuántica o la teoría cuántica de campos, eso es harina de otro costal. Porque ya no es solo dificultad teórica, que es mucha, es que a nivel experimentación es muy complejo.

      Pero vamos, que la física cuántica y la mecánica cuántica entendiendo con ello la ecuación de Schrödinger, la solución como problema de valores propios, la interpretación de Copenaghe, etc, no es excesivamente complicada. Es un desafío al principio, sí, pero te acostumbras y punto.

      Es lógico que Bohr dijera eso en aquellos años, ten en cuenta que ni siquiera se había hecho todo el trabajo de Dirac, Pauli y otros que gracias a ellos, hoy no es tan complicado trabajarlo y entenderlo. Muchas veces, las paradojas son únicamente fruto de nuestros prejuicios del mundo clásico y no relativista.

  5. Creer en física es peligroso. Es mejor confiar en que la teoría da los resultados experimentales correctos y desarrollar con el tiempo la intuición adecuada a los fenómenos que estás estudiando.

    Lo de la cita de que nadie entiende la mecánica cuántica creo que es de Feynman. Pero el contexto no es ese exactamente, una cosa es entender el formalismo y ciertamente Feynman lo entendía muy bien, y otra bien distinta es encontrarle un significado en términos usuales, el tan traido y llevado “sentido común”.

    Evidentemente, para entender la cuántica, su formalismo y su forma de actuar, hay que dedicarle tiempo. Pero en mi opinión se puede divulgar sobre la misma sin contar medias verdades ni ocultar su verdadera esencia. También creo que los físicos se deberían de esforzar en divulgar correctamente y sin medias tintas toda la física, en especial temas tan peliagudos como la cuántica.

    • Cuando estudié la carrera jamás nos incitaron al “esto te lo tienes que creer”. Como mucho, aceptas que no tienes el nivel para abordarlo, vale. Pero la explicación existe y debe existir una manera de demostrarlo. La fe no pinta nada en medio de la ciencia. La intuición no es más que experiencia aplicada.

      Lo que sí estoy de acuerdo es con lo que Einstein decía, que el sentido común no son más que prejuicios. Y los prejuicios en la ciencia son un lastre gordísimo para entender las cosas. Y cuando digo entender, no digo aceptar que funciona y aplicar un mecanismo una y otra vez. Digo entender los conceptos de forma profunda y asimilarlos.

  6. [...] Fermiones y bosones esos famosos desconocidos [...]

  7. reneco

    Se agradece el esfuerzo por tratar de hacer asequible esta materia a las personas que no han tenido la oportunidad de un curso formal de estos temas, algún día se hará mas obvio el entendimiento de la MC como ya es mas llevadero el tratar con la relatividad especial o la mecánica newtoniana

  8. Wily

    Creer en física es peligroso.
    Es mejor desarrollar con el tiempo
    la intuición adecuada a los fenómenos que estás estudiando.

    SI MANO LOS PROBLEMAS DE LA TECNOLOGIA ESCAPAN DE LA ESENTIA sencia

  9. Fandila

    Quizá sea más sencillo si consideramos que ciertas propiedades bosónicas van dirigidas en un sólo sentido, mientras las fermionicas no.
    Por ejemplo: el campo magnético.
    Dos bosones, tipo fotón, espín 1, tienen sus campos magnéticos “en línea” y ambos se suman paralelamente (norte magnético más norte magnético y sur más sur). Sus espines se mantienen paralelos.
    Para dos fermiones, espín 1/2, significa que sus campos magnéticos se abren en abanico y se solapan. En la conjunción de ambos, los nortes se repelen, lo mismo que los sur, por lo que se da el giro, para que nortes y sur se atraigan y queden en equilibrio. No pueden estar en el mismo estado, los espines de ambas partículas quedarán en sentido opuestos, o antiparalelos.

    • Creo que no he entendido, el espín del electrón tiene un módulo de 1/2 (siempre en unidades de la constante de Planck reducida). Esto hace que el electrón tenga dos posibles terceras componentes del espín +1/2 y -1/2. Esto es lo que condiciona que hablemos de alineaciones paralelas o antiparalelas respecto a un campo magnético externo.Hasta aquí bien.

      Pero es que resulta que hay bosones tienen espín 1 (por poner un ejemplo). Y esto significa que tienen tres terceras componentes posibles +1,0,-1. Y por tanto su interacción con el campo magnético puede ser paralelo o antiparalelo igualmente. No veo la diferencia.

      No entiendo que es eso de abrirse en abanico, supongo que son los distintos valores de la tercera componente del espín, pero eso pasa en todos los casos, ya sean fermiones o bosones.

      Aquí precisamente lo que se ha puesto de manifiesto, o se ha intentado poner, es que esto de que los bosones puedan estar en el mismo estado y los fermiones no es una característica general de la cuántica. No hace falta recurrir a campos externos para explicar eso.

      Lo siento mucho pero creo que no he entendido este comentario.

  10. Bueno, parece lògico el anàlisis de Fandila, aunque ha sido un buen intento de Enrique su explicaciòn sobre la exclusiòn de Pauli sobre los fermiones y los bosones, este mundo maravilloso de la MC que encanta a uno al punto de mantenerlo encandilado, tratando de verlo con los ojos del alma.

  11. Fandila

    Los bosones tienen spin entero, lo que viene a significar, considerados como ondas, que avanzan linealmente. En la gráfica de espin se observa que el valor 1, el 2, el 3…van dirigidos según el eje z. Por tanto el espín bosónico viene a suponer un giro transversal al eje z que no hace que se desvíen sus líneas magnéticas.
    Los componentes de los bosones pueden tener espines fraccionarios, pero como partícula global, el espín actúa como el resultante. Siempre de valor entero.

    Los fermiones actúan globalmente con espín 1/2. Ello sinifica una “apertura” o ángulo en torno al eje z, con lo que la interacción de los campos magnéticos entre dos fermiones se da como sumatoria de sus líneas “cruzadas”, cosa que no ocurre entre dos bosones donde el ángulo entre líneas magnéticas es cero.
    Si puede hablarse de la clonación de fotones es debido a ese emparejamiento.

    • No entiendo eso de avanzar linealmente, la propagación de los fotones es transversal. Sólo contribuyen grados de libertad transversales y los fotones tienen espín (más bien helicidad) 1.

      Si yo tiro una partícula de espín 1 en un experimento de Stern-Gerlach obtengo tres manchas. Para la proyección +1, 0 y -1. Siendo las manchas de los valores +1 y -1 simétricamente desviadas respecto a la de 0 que no tiene desviación alguna.

      Luego si por clonación te refieres a entrelazamiento, eso se puede hacer para partículas de cualquier espín. Y por otro lado los fermiones no actúan siempre como si tuvieran espín 1/2, también tenemos cosas de espín 3/2, 5/2, etc.

      No he entendido que ha querido decir con este mensaje.

  12. Fandila

    Estimado C. Cuántos:
    Por eso precisamente. Los espines 1/2 y -1/2 se equilibran (no quiere decir que se anulen) porque los dos campos del fotón (mejor se ve si polariizado) girán en torno al eje común en posición opuesta, lo que no quiere decir que se anulen, pues la sumatoria es vectorial. ( + y – sólo indica que avanzan, girando según vector de módulo h(barra)/2, o sea con cierto ángulo, en los extremos opuestos de una supuesta órbita. La sumatoria vectorial es 1.
    Lo de “linealmente” se refiere a que a sus componentes (campos) avanzan, en su helicidad, de forma paralela la eje z. Los bosones en cambio, aunque sus componentes viajen en el mimo sentido que la partícula no poseen una helicidad interna de ese tipo, sino oscilante (se atrasan se adelantan, se atrasan se adelantan… según órbitas no planas).
    Claro que existen fermiones de espin múltiplos de 1/2. Para el caso es lo mismo. La partícula sigue “abriéndose” aunque según el ángulo correspondiente al multiplo de espín de que se trate. Dicho ángulo será menor cuanto mayor sea el espín.

    Con el mensaje sólo quiero simplificar y ofrecer una visión más intuitiva y real del espín. Creo que el concepto de espín se ha mitificado mucho. A mi entender el espín sólo es una manera de cuantificar los ángulos de inclinación de las órbitas de los componentes de una partícula, que han de variar entre unos margenes, los del vector espín de la dicha partícula como un todo.

    En esas experiencias a que te refieres, supongo que se trate de obtener una visión más exacta o espacial de las interacciones de espín. Ver el fenómeno según tres coordenadas (angulares), o ejes de referencia. Esas manchas han de obtenerse casi con seguridad en tres tiempos distintos distintod, supongo.
    Muy agradecido

  13. Fandila

    Señor Cuentos Cuánticos:
    Sería difícil una explicación pormenorizada sin esquemas o dibujos de ambos tipos de partículas (siempre figurados como es lógico, pero de acuerdo con las leyes que rigen el proceso).
    A mí, y en principio, el enreveso matemático para llegar al espín partiendo de la experimentación de Ralph Kronig y otros como él, me viene un poco grande. Pero sí que parto de sus resultados como es lógico.
    Como digo, en abstracto es difícil entender el por que del espín.
    De quererlo, puedo intentar poner un resumen, si es que este comentario permite la imagen.

  14. [...] la teoría sólo es consistente si introducimos supersimetría, que es una cosa que relaciona fermiones y bosones en una teoría. Es decir, según la supersimetría, por cada partícula bosónica tenemos que [...]

  15. Fandila

    La supersimetría sólo es una hipótesis sin confirmar, lo que no quiere decir que sea inexistente. Todo apunta a lo contrario.
    Lo que pasa, que la supersimetría, como un equilibrio perfecto, no parece que se dé.
    Igual ocurre por decir algo con el supuesto equilibrio expansión-concentración, que siempre se decanta hacia una o hacia otra.
    Sin embargo la supersimetría para muchas respuestas parece ser indispensable. Si se confirmara su no inexistencia habría que explicarse por otros caminos. supongo.

  16. [...] Reproducimos aquí la entrada que Ciencia Kanija nos publicó el 28 de Julio. [...]

  17. Fandila

    Sí que se entiende con claridad, desde luego.
    Pero expóngasele a un neófito o a alguien no muy puesto en las honduras cuánticas.
    Como siempre “la realidad supera a la ficción”, matemática en este caso.

    Mis agradecimientos.

  18. [...] Ciencia Kanija  Bosones y Fermiones, esos famosos desconocidos. [...]

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