¿Cómo saber cuándo es significativo un nuevo hallazgo? El valor sigma puede decírtelo – pero cuidado con los peces muertos.

Es una cuestión que surge con virtualmente cada gran nuevo hallazgo en ciencia o medicina: ¿Qué hace que un resultado sea lo bastante fiable como para tomarse en serio? La respuesta tiene que ver con su significado estadístico – pero también con los juicios sobre qué estándares tienen sentido en una situación dada.

La unidad de medida que se ofrece normalmente cuando se habla de significado estadístico es la desviación estándar, expresada con la letra griega minúscula sigma (σ). El término se refiere a la cantidad de variabilidad en un conjunto de datos dado: si los datos apuntan todos a una zona conjunta o están muy dispersos.

Distribución normal

En muchas situaciones, los resultados de un experimento siguen lo que se conoce como “distribución normal”. Por ejemplo, si lanzas una moneda 100 veces y cuentas cuántas veces sale cara, el resultado medio será 50 veces. Pero si realizas esta prueba 100 veces, la mayor parte de los resultados estará cerca de 50, pero no será exactamente ese valor. Tendrás casi los mismos casos de 49 ó 51. También tendrás unos pocos de 45 o 55, pero casi ninguno de 20 o de 80. Si dibujas las 100 pruebas en una gráfica, tendrás una forma bien conocida llamada curva de campana, que es más alta en el medio y más baja en los extremos. Ésto es una distribución normal.

La desviación es lo lejos que está un punto dado respecto a la media. En el ejemplo de la moneda, un resultado de 47 tiene una desviación de tres respecto al valor medio de 50. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la media de todas las desviaciones al cuadrado. Una desviación estándar, o un sigma, dibujado por encima o debajo del valor medio en tal curva de distribución normal, definiría una región que incluye el 68 por ciento de todos los puntos de datos. Dos sigmas por encima o debajo incluirían aproximadamente un 95 por ciento de los datos, y tres sigmas el 99,7 por ciento.

Entonces, ¿cuándo un punto de datos concreto – o resultado de investigación – se considera significativo? La desviación estándar puede ofrecernos una regla: Si un punto de datos está a unas pocas desviaciones estándar del modelo que se está poniendo a prueba, ésto es una prueba sólida de que dicho punto de datos no es consistente con el modelo. Sin embargo, cómo usar esta regla depende de la situación. John Tsitsiklis, Profesor Clarence J. Lebel de Ingeniería Eléctrica en el MIT, que enseña el curso de Fundamentos de Probabilidad, dice que: “la estadística es un arte, con mucho espacio para la creatividad y los errores”. Parte del arte consiste en decidir qué medidas tienen sentido para una configuración dada.

Por ejemplo, si estás haciendo una encuesta sobre cuánta gente planea votar en unas elecciones, la convención aceptada es de dos desviaciones estándar por encima o debajo de la media, lo cual da un nivel de confianza del 95 por ciento, lo que es razonable. El intervalo de dos sigmas es a lo que los encuestadores se refieren cuando dicen “el margen de error de la muestra”, como un 3 por ciento, en sus conclusiones.

Esto significa que si preguntas a toda la población y obtienes un resultado concreto, y haces la misma pregunta a un grupo aleatorio de 1000 personas, hay un 95 por ciento de posibilidades de que los resultados del segundo grupo estén a dos sigma de los resultados del primero. Si una encuesta encuentra que el 55 por ciento de toda la población está a favor del candidato A, entonces el 95 por ciento de las veces, los resultados de la segunda encuesta estarán en algún punto entre el 52 y el 58 por ciento.

Por supuesto, esto también significa que el 5 por ciento de las veces, el resultado estaría fuera del rango de dos sigmas. Este grado de incertidumbre está bien para una encuesta de opinión, pero puede que no para el resultado de un crucial experimento que desafía la comprensión de los científicos sobre un importante fenómeno – como el anuncio del pasado otoño de la detección de neutrinos que se movían más rápido que la velocidad de la luz en un experimento del Centro Europeo de Investigación Nuclear (CERN).

Seis sigmas pueden estar equivocadas

Técnicamente, los resultados de ese experimento tenían un nivel de confianza muy alto: seis sigmas. En la mayor parte de casos, un resultado de cinco sigmas se considera como el estándar de significación, que corresponde aproximadamente a una posibilidad en un millón de que los hallazgos sean sólo el resultado de variaciones aleatorias: seis sigmas se traduce como una posibilidad entre 500 millones de que el resultado sea una fluctuación aleatoria. (Una estrategia común de gestión de negocios conocida como “Seis Sigma” se deriva a partir de este término, y se basa en instaurar procedimientos rigurosos de control de calidad para reducir los residuos).

Pero en ese experimento del CERN, el cual tenía el potencial de dar un vuelco a un siglo de física aceptada y confirmada en miles de pruebas de distintos tipos, aún no es lo bastante bueno. Por una razón, asume que los investigadores han realizado el análisis correctamente y no han pasado por alto alguna fuente de error sistemático. Y debido a que los resultados son tan inesperados y revolucionarios, esto es exactamente lo que la mayoría de físicos creen que ha pasado – alguna fuente de error no detectada.

Es interesante señalar que un conjunto de resultados distinto procedente del mismo acelerador de partículas del CERN se interpretó de manera bastante diferente.

También se anunció el año pasado una posible detección de algo llamado bosón de Higgs – una partícula subatómica teórica que ayudaría a explicar por qué las partículas tienen masa . Este resultado tenía sólo un nivel de confianza de 2,3 sigmas, correspondiente a, aproximadamente, una posibilidad entre 50 de que el resultado fuese un error aleatorio (nivel de confianza del 98 por ciento). Debido a que encaja con lo esperado, basándonos en la física actual, la mayor parte de físicos cree que el resultado probablemente es correcto, a pesar de que su nivel de confianza estadística es mucho menor.

Significativo pero falso

Pero se complica más en otras áreas. “Donde el tema se pone realmente complicado es en las ciencias sociales y en la ciencia médica”, dice Tsitsiklis. Por ejemplo, un artículo de 2005 muy citado y publicado en Public Library of Science – titulado “Why most published research findings are wrong” (Por qué la mayor parte de las conclusiones de investigación publicadas son incorrectas) — daba un análisis detallado de una variedad de factores que podrían llevar a conclusiones injustificadas. Sin embargo, esto no se tiene en cuenta en las medidas estadísticas usadas normalmente, incluyendo el “significado estadístico”.

El artículo señala que al observar grandes conjuntos de datos de formas lo bastante diferentes, es fácil encontrar ejemplos que pasen los criterios habituales de significado estadístico, incluso aunque sean realmente simples variaciones aleatorias. ¿Recuerdas el ejemplo de la encuesta, donde una vez de cada 20 un resultado cae aleatoriamente fuera de los límites “significativos”? Bueno, incluso con un nivel de significación de cinco sigmas, si un ordenador genera millones de posibilidades, se descubrirán patrones totalmente aleatorios que encajen con esos criterios. Cuando esto sucede, “no publicas aquellos que no pasan” el test de significación, dice Tsitsiklis, pero algunas correlaciones aleatorias tendrán la apariencia de ser hallazgos reales – “por lo que finalmente terminarás publicando los errores estadísticos.

Un ejemplo de ésto: Muchos artículos publicados en la última década han afirmado encontrar correlaciones significativas entre cierto tipo de comportamientos o procesos mentales y las imágenes cerebrales captadas en imágenes de resonancia magnética, o IRM. Pero a veces estas pruebas pueden encontrar correlaciones aparentes que simplemente son el resultado de fluctuaciones naturales, o “ruido”, en el sistema. Un investigador en 2009 duplicó uno de dichos experimentos, sobre el reconocimiento de expresiones faciales, sólo que en lugar de sujetos humanos escaneó un pez muerto – y encontró resultados “significativos”.

“Si miras en suficientes lugares, puedes tener un resultado de ‘pez muerto’”, dice Tsitsiklis. Inversamente, en muchos casos un resultado con un bajo significado estadístico puede, sin embargo, “decirte algo que merezca la pena investigar”, comenta.

Así que ten en mente que simplemente porque algo encaje con la definición aceptada de “significativo”, no implica necesariamente que lo sea. Todo depende del contexto.

Autor: David L. Chandler
Fecha Original: 9 de febrero de 2012
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Para un gran rango de casos de utilidad práctica, los investigadores del MIT encuentran una forma de aumentar la velocidad de uno de los algoritmos más importantes en las ciencias de la información.

La transformada de Fourier es uno de los conceptos más fundamentales en las ciencias de la información. Es un método para representar una señal irregular – como fluctuaciones de voltaje en un cable que conecta un reproductor MP3 con un altavoz – en forma de combinación de frecuencias puras. Es universal en el procesado de señales, pero también puede usarse para comprimir ficheros de imagen y audio, resolver ecuaciones diferenciales y valorar las opciones sobre acciones, entre otras cosas.

La razón de que la transformada de Fourier sea tan predominante es un algoritmo conocido como Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform- FFT), desarrollado a mediados de la década de 1960, que hizo viable calcular las transformadas de Fourier sobre la marcha. Desde que se propuso la FFT, no obstante, la gente se ha preguntado si podría encontrarse un algoritmo aún más rápido.

FFT © by hazure

En el Simposio de Algoritmos Discretos de la Asociación de Maquinaria de Cálculo (SODA) de esta semana, un grupo de investigadores del MIT presentará un nuevo algoritmo que, en un amplio rango de casos de importancia práctica, mejora a la FFT. Bajo ciertas circunstancias, la mejora puede ser drástica – un incremento de hasta 10 veces en la velocidad. El nuevo algoritmo podría ser particularmente útil para la compresión de imágenes, permitiendo, digamos, que los smartphones transmitan a través de wi-fi grandes archivos de video sin agotar sus baterías, o consumir tu cuota mensual de ancho de banda.

Como la FFT, el nuevo algoritmo trabaja con señales digitales. Una señal digital es, simplemente, una serie de números – muestras discretas de una señal analógica, tal como el sonido de un instrumento musical. La FFT toma una señal digital que contiene un cierto número de muestras y las expresa como la suma ponderada de un número equivalente de frecuencias.

“Ponderada” indica que algunas de esas frecuencias cuentan más para el total que otras. Es más, muchas de las frecuencias pueden tener una ponderación tan baja que pueden descartarse sin problema. Por esto es por lo que la FFT es útil para la compresión. Un bloque de 8×8 píxeles puede verse como una señal de muestra 64, y por tanto como la suma de 64 frecuencias distintas. Pero, como señalan los investigadores en su nuevo artículo, los estudios empíricos demuestran que, de media, 57 de esas frecuencias pueden descartarse con una mínima pérdida de calidad en la imagen.

División muy ponderada

Las señales cuyas FFT incluyen un número relativamente bajo de frecuencias muy ponderadas se conocen como “poco densas” (sparse). El nuevo algoritmo determina la ponderación de las frecuencias de mayor peso de una señal; cuanto menos densa sea la señal, mayor será la aceleración que proporciona el algoritmo. Es más, si la señal es lo bastante poco densa, el algoritmo puede simplemente muestrearla aleatoriamente en lugar de leerla por completo.

“En la naturaleza, la mayor parte de las señales son poco densas”, dice Dina Katabi, una de las desarrolladoras del nuevo algoritmo. Ten en cuenta, por ejemplo, la grabación de una pieza de música de cámara: La señal compuesta consta de sólo unos pocos instrumentos, cada uno tocando una única nota en cada instante. Una grabación, por otra parte, de todos los posibles instrumentos tocando cada uno todas las notas posibles a la vez, sería poco densa – pero tampoco sería una señal que interesara a nadie.

El nuevo algoritmo – que la Profesora Asociada Katabi y el profesor Piotr Indyk, ambos del Laboratorio de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial del MIT (CSAIL), desarrollaron junto a sus estudiantes Eric Price y Haitham Hassanieh – se basa en dos ideas clave. La primera es dividir una señal en dos anchos de banda más estrechos, de un tamaño que cada porción generalmente contenga sólo una frecuencia de gran peso.

En el procesado de señales, la herramienta básica para aislar frecuencias particulares es el filtro. Pero los filtros tienden a tener límites difusos: un rango de frecuencias pasará a través del filtro más o menos intacto; las frecuencias justo fuera del rango se verán algo atenuadas; las frecuencias más lejos del rango se atenuarán aún más; y así sucesivamente, hasta que alcanzas las frecuencias que se filtran casi perfectamente.

Si sucede que la frecuencia con el peso importante está en el límite del filtro, sin embargo, podría terminar tan atenuada que no pueda identificarse. Por lo que la primera contribución de los investigadores fue encontrar una forma computacionalmente eficiente de combinar filtros de forma que se solaparan, asegurando que ninguna frecuencia dentro del rango deseado se atenuase indebidamente, pero que los límites entre las porciones del espectro quedasen bien definidas.

Apuntando

Una vez que aislaron una porción del espectro, sin embargo, los investigadores aún tenían que identificar la frecuencia de mayor peso en esa porción. En el artículo de SODA, hacen esto cortando repetidamente la porción del espectro en trozos menores y guardando sólo aquellos en los que se concentra la mayor parte de la potencia de la señal. Pero, en un artículo aún por publicar, describen una técnica mucho más eficiente, la cual toma prestada una estrategia de procesado de señales de las redes móviles 4G. Las frecuencias normalmente se representan como garabatos arriba y abajo, pero también pueden verse como oscilaciones; muestreando la misma porción de ancho de banda en distintas escalas temporales, los investigadores pueden determinar dónde está la frecuencia dominante dentro de su ciclo oscilatorio.

Dos investigadores de la Universidad de Michigan – Anna Gilbert, Profesora de Matemáticas, y Martin Strauss, Profesor Asociado de Matemáticas, Ingeniería Eléctrica y Ciencias de la Computación – habían propuestos anteriormente un algoritmo que mejoraba la FFT para señales muy poco densas. “Parte del trabajo previo, incluyendo el mío con Anna Gilbert y otros, mejorarían el algoritmo de la FFT, pero sólo si la densidad k” – el número de frecuencias de gran peso – “era considerablemente menor que el tamaño de entrada n”, comenta Strauss. Sin embargo, el algoritmo de los investigadores del MIT, “expande mucho el número de circunstancias bajo las que se puede superar a la FFT tradicional”, señala Strauss. Incluso si el número k empieza a acercarse a n – siendo todos significativos – este algoritmo proporciona algo de mejora sobre la FFT”.

Autor: Larry Hardesty
Fecha Original: 18 de enero de 2012
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Un simple modelo matemático del cerebro explica el patrón de homicidios de un asesino en serie, dicen los investigadores.

El 20 de noviembre de 1990, Andrei Chikatilo fue arrestado en Rostov, un estado ruso en la frontera con Ucrania. Tras nueve días de custodia, Chikatilo confesó el asesinato de 36 chicas, chicos y mujeres a lo largo de un periodo de 12 años. Más tarde confesó 20 asesinatos más, convirtiéndolo en uno de los asesinos en serie más prolíficos de la historia moderna.

Hoy, Mikhail Simkin y Vwani Roychowdhury de la Universidad de California en Los Ángeles, publican un análisis matemático del patrón de comportamiento de Chikatilo. Dicen que el comportamiento queda bien caracterizado por una ley exponencial, y que es exactamente lo que se esperaría si el comportamiento de Chikatilo estuviese causado por un cierto patrón de disparo neuronal en el cerebro.

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Su idea se basa en el comportamiento fundamental de las neuronas. Cuando se dispara una neurona, no puede dispararse de nuevo hasta que no se recarga, un tiempo conocido como periodo refractario.

Cada neurona está conectada con miles de otras neuronas. Algunas de ellas también estarán listas para dispararse, y pueden verse disparadas por la primera neurona. Éstas, a su vez, estarán conectadas con más neuronas, y así sucesivamente. Por lo que es fácil ver cómo una reacción en cadena de disparos puede barrer el cerebro si se dan las condiciones adecuadas.

Pero esto, por sí mismo, no puede explicar el comportamiento de un asesino en serie. “No podemos esperar que el asesino cometa un asesinato justo en el momento en el que la excitación neuronal alcanza cierto umbral. Necesita tiempo para planear y preparar su crimen”, dicen Simkin y Roychowdhury.

En lugar de esto, sugieren que un asesino en serie sólo comete un asesinato después de que el umbral se haya superado durante un cierto periodo de tiempo.

También asumen que el asesinato tiene un efecto sedante sobre el asesino, provocando que la actividad neuronal caiga por debajo del umbral.

Simkin y Roychowdhury usaron su modelo para simular el patrón de disparo en un cerebro y ver lo a menudo que sobrepasaba un umbral determinado durante el tiempo suficiente para que tuviese lugar el asesinato.

En el modelo, usaron un periodo de 2 milisegundos como paso temporal básico, el tiempo aproximado entre dos disparos de una neurona real. Y simularon unos 100 000 millones de pasos, equivalente a unos 12 años, que es el periodo en el que Chikatilo estuvo activo.

Los resultados son notablemente similares a la distribución de asesinatos reales de Chikatilo, y Simkin y Roychowdhury especulan que sería relativamente sencillo introducir un factor de corrección realista que hiciera que encajasen aún mejor.

Dicen: “Se podría mejorar el modelo introduciendo una tasa de éxito de asesinato. Ésta la la probabilidad que tiene el asesino de que todo vaya bien y sea capaz de cometer el asesinato que ha planeado. Si no funciona, repite su intento al siguiente día. Y así, sucesivamente”.

Este modelo lleva a una visión interesante de la naturaleza del asesinato en serie. Sugiere que la probabilidad de otro asesinato es mucho más alta poco después de un asesinato, que cuando ha pasado un largo periodo de tiempo.

Ésta es una propiedad conocida de las distribuciones que siguen una ley exponencial y que es cierta para todo tipo de fenómenos. Un gran terremoto, por ejemplo, es más probable poco después de otro gran terremoto.

Es interesante señalar que el trabajo de Simkin y Roychowdhury guarda gran similitud con otro reciente trabajo que sugiere que la distribución de los ataques de epilepsia también sigue una ley exponencial. El razonamiento aquí también es el mismo – los patrones de disparo neuronal pueden expandirse por el cerebro, como una avalancha, provocando un ataque en el proceso.

Esto sugiere una vía evidente de futura investigación para descubrir si otras formas de comportamiento extremo, e incluso de comportamiento común, siguen el mismo patrón. Tal vez estos chicos y otros ya están trabajando con los datos.

Chikatilo finalmente fue declarado culpable de 52 asesinatos y ejecutado de un disparo en la cabeza en 1994.

Artículo de Referencia: arxiv.org/abs/1201.2458: Stochastic Modeling Of A Serial Killer
Fecha Original: 16 de enero de 2012
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Una nueva aproximación a las teselaciones permite a cualquier artista crear imágenes similares a las de Escher.

Uno de los héroes del siglo XX del arte gráfico fue Maurits Cornelis Escher, que usó ideas de las matemáticas para producir imágenes extraordinarias.

Un recurso del que Escher fue un maestro fue la teselación, el cual explotó para crear fantásticas ordenaciones periódicas de imágenes.

Hoy, San Le, artista y programador informático con sede en los Estados Unidos, muestra cómo generalizar la técnica de Escher. Y su aproximación es tan simple que cualquiera puede intentarlo. “Las reglas para crear arte teselado son bastante simples”, dice Le.

La idea es estudiar las formas que encajan para teselar un plano y etiquetar claramente los lados que terminan siendo adyacentes. Es entonces una cuestión de crear una imagen que conecta estos lados complementarios.

La belleza de esta aproximación es que cambia el problema de un reto matemático a uno artístico.

Para demostrar la potencia de este método, Le da un paso más que Escher aplicando el teselado aperiódico de Penrose de un plano usando dardos y cometas. Éste es un teselado que Escher nunca había tenido la posibilidad de hacer, pero uno que seguramente aprobaría. Mira abajo la versión de Le.

Le incluso pasa a mostrar cómo crear teselas fractales, seguramente de una forma con la que Escher estaría de acuerdo.

Los resultados son fascinantes (puedes ver el artículo original para más ejemplo). ¿Por qué no intentarlo?

Fecha Original: 16 de junio de 2011
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Durante una década, los teóricos han estado explorando una sorprendente relación matemática entre las ecuaciones que describen dos situaciones aparentemente diferentes – una que implica el espacio-tiempo curvado, y la otra a sistemas de muchas partículas interactuantes. En la edición del 3 de junio de Physical Review Letters un equipo usa esta conexión para reproducir matemáticamente la operación de un dispositivo superconductor estándar conocido como unión Josephson a partir de las ecuaciones del espacio-tiempo curvado. Aunque los resultados aún no han revelado ninguna sorpresa sobre los superconductores, aumentan la confianza en conclusiones que los teóricos podrían obtener a partir de otros sistemas de materia condensada.

A veces, las condiciones en la superficie límite de una región del espacio tienen una potente influencia sobre lo que sucede dentro. Los cosmólogos conocen a esto como “principio holográfico”, por analogía en cómo un holograma 2D engloba una realidad 3D. En 1997 el teórico Juan Maldacena, ahora en el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey, sugirió una estrecha relación matemática, o “dualidad”, entre dos construcciones teóricas muy distintas. Una es la Teoría de Cuerdas es un espacio-tiempo curvado concreto. La otra es un tipo de teoría de campo cuántico que describe partículas que interaccionan con fuerza en un espacio-tiempo común, el cual puede verse como el límite del espacio-tiempo curvado, y por tanto, tiene una dimensión menos.

La conjetura de Maldacena era que siempre se podía transformar las cantidades físicas de un espacio-tiempo curvado de la Teoría de Cuerdas en ésa teoría de campo de menos dimensiones en el límite. Por lo que obtendrías soluciones para un conjunto de ecuaciones transformándolo en el otro conjunto. Aunque la idea de que esto se mantiene para todos los casos aún está por demostrarse, hay “abrumadoras pruebas de que esto es cierto”, dice Gary Horowitz de la Universidad de California en Santa Bárbara.

Al principio, los teóricos veían la dualidad como una forma de aprender sobre la Teoría de Cuerdas, sin las complicaciones de un espacio curvado. Pero recientemente, le han dado la vuelta para aprender sobre las partículas de interacción fuerte usando el lenguaje del espacio curvado y la relatividad general. “Durante ochenta años se pensó que la relatividad general era una teoría de la gravedad”, dice Horowitz. “En los últimos diez años aproximadamente hemos aprendido, a través de esta dualidad, que podemos usar las mismas ecuaciones para describir también física no gravitatoria”.

Por ejemplo, en 2008, Horowitz y dos colaboradores usaron herramientas matemáticas de la relatividad para idear un análogo de un superconductor bidimensional¹. Esta lámina superconductora formaba un límite “en el infinito” de un bloque de espacio tridimensional que el equipo imaginó que tenía el tipo adecuado de espacio-tiempo curvado. También permitieron la existencia de campos electromagnéticos y un campo adicional, genérico, en la región. Para lograr temperatura en el sistema de una forma “relativamente amigable”, el equipo añadió un agujero negro planar infinito en el límite opuesto del superconductor, debido a que un agujero negro tiene una temperatura bien definida.

“Empezamos con los ingredientes mínimos que necesitamos para lograr algo que pareciera un superconductor”, dice Horowitz. Las correspondientes ecuaciones demostraron que los campos podrían ser cero cuando la temperatura del agujero negro era alta. Conforme el equipo reducía la temperatura, el agujero negro se hacía espontáneamente inestable, provocando que el campo genético se elevase por encima de cero. Usando el “diccionario” estándar, que traduce este campo de espacio curvado en propiedades del límite, el equipo calculó una conductividad eléctrica infinita, como en un superconductor del mundo real.

Ahora, Horowitz y sus otros dos colaboradores han extendido el trabajo para modelar un dispositivo conocido como unión Josephson, donde la corriente fluye entre dos trozos de superconductor a través de una estrecha zona de material normal. Conforme incrementas la diferencia de fase cuántica entre los superconductores, la corriente varía como una onda sinusoidal – una característica que da a un dispositivo de interferencia cuántica superconductor (SQUID) su exquisita sensibilidad a los campos magnéticos.

A lo largo de una banda de la hoja, el equipo forzó el material a permanecer como un conductor normal por debajo de la temperatura crítica. Encontraron que la corriente que fluía a través de esta región normal dependía sinusoidalmente de las fases relativas de los dos superconductores, igual que en la unión Josephson del mundo real. Horowitz dice que esperaba que el método funcionase de esta forma, “pero, ciertamente, no era obvio”. Los resultados son “otra confirmación más de que la dualidad es correcta”, comenta.

Aunque ha habido miles de artículos sobre la dualidad, relativamente pocos han examinado tal variación espacial, dice Subir Sachdev de la Universidad de Harvard en Cambridge, Massachusetts, debido a que hace que los cálculos sean mucho más complejos. Pero sigue siendo un reto construir versiones holográficas de la superconductividad que encajen con materiales específicos, señala. “No creo que estemos cerca de comprenderlo realmente”.

Autor: Don Monroe
Fecha Original: 3 de junio de 2011
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Su artículo, aparte de contener la traducción del artículo original, incluye algunos comentarios y aclaraciones realmente valiosos, así que, sin extenderme más, os dejo el enlace a su artículo para que podáis disfrutar del mismo.

Hay pocas cosas que puedan gustar más a un físico teórico que la simetría y las leyes de conservación. Gran parte de esa diversión y elegancia matemática suprema se la debemos al teorema de Noether, una física que demostró que para cada simetría existe asociada una ley de conservación. ¡Y no solo eso! Su demostración es constructiva, por lo que se puede deducir la ley de conservación aplicando el teorema de Noether a la simetría en particular. ¡Casi ná!

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Un matemático de la Facultad de Artes y Ciencias de la Universidad de Indiana ha resuelto un problema de hace 65 años de la geometría combinatoria, que buscaba determinar en número mínimo de distancias distintas entre cualquier conjunto finito de puntos en un plano.

El trabajo del Profesor del Departamento de Matemáticas de la IU Nets Hawk Katz, Junto a Larry Guth del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey, logró lo que muchos pensaban que era inalcanzable: Resolver el Problema de Distancias Distintas de 1946 de Paul Erdös.

“Si alguien te da algunos conjuntos de puntos distintos, puedes calcular el conjunto de diferencias. El problema es determinar cuál es el conjunto mínimo posible de distancias”, dice Katz. “Lo que hicimos fue demostrar que no importa cómo coloques los N puntos, el número de distancias es, al menos, una constante N/log N veces.

Aquí, N representa el número de conjuntos finito de puntos. En un logro histórico, Katz y Guth fueron capaces de alcanzar el exponente de 1, lo que se pensaba que era imposible.

Basándose en décadas de trabajo realizado por otros, Katz y Guth examinaron el problema dentro de un grupo de movimientos rígidos del plano y usaron la geometría Euclidiana para ver el problema de la distancia como uno lineal en tres dimensiones. Introduciendo dos nuevas ideas a la demostración existente, ambos mejoraron exponencialmente el límite inferior rescrito más recientemente de 0,8641, una marca que Katz hacía ayudado anteriormente a obtener.

Guth y Katz fueron capaces de combinar el método algebraico con un resultado procedente de la topología, conocido como el teorema polinomial del sándwich de jamón, que se usó para crear una descomposición celular que arrojó los resultados deseados cuando la mayor parte de los puntos estaban en el interior de las células, mientras que en el caso contrario podían manejarse por el método algebraico.

La nueva demostración usó una reformulación geométrica del problema original que fue ideada por Gyorgy Elekes (Universidad de Eotvos, Hungría) y Micha Sharir (Universidad de Tel Aviv). Usando este marco de trabajo, Katz y Guth implementaron el teorema polinomial del sándwich de jamón para crear un nuevo tipo de descomposición celular que deja los puntos del plano en el interior o en las paredes de las células.

“Este procedimiento tiene lo que ha resultado ser la ventaja de no terminar siempre en una descomposición”, señala Katz. “En lugar de esto, hay una dicotomía. Logramos una descomposición extremadamente eficiente que proporciona los teoremas de incidencia que queremos, o la alternativa, que el procedimiento falle y la mayor parte de líneas estén en el conjunto cero de un grado polinomial bastante bajo. Ésta es una alternativa aceptable, debido a que nos permite aplicar el método algebraico”.

El profesor de matemáticas de UCLA y ganador de la Medalla Fields, Terence Tao, dice que el trabajo es “impresionante” y la base para posteriores avances.

“Ahora que sabemos que dos de las herramientas más potentes de la geometría de incidencia combinatoria – la descomposición celular el método polinomial – pueden combinarse para dar unos resultados casi perfectos que están fueran del alcance de cada método por separado, parece que merece la pena volver a visitar el resto de problemas estándar sobre el tema y ver si podemos mejorar los resultados parciales de estos problemas un poco más”, escribe sobre la recientemente descubierta dicotomía durante una revisión de la demostración.

La geometría combinatoria, un campo que tiene aplicaciones de gran alcance en áreas tan diversas como el desarrollo de medicamentos, la planificación del movimiento de robots y los gráficos por ordenador, examina propiedades discretas tales como simetría, plegamiento, empaquetamiento, descomposición y teselado asociadas con la combinación de objetos geométricos.

Janos Pach, editor jefe de la revista Discrete and Computational Geometry y uno de los colaboradores más frecuentes de Erdös, describe el artículo en un blog personal como “un gran logro”. “Vamos a celebrar este fantástico desarrollo”, escribe.

Erdös creó un premio de 500 dólares para cualquiera que llegase a la solución del problema de la distancia, que se ha considerado desde hace mucho tiempo como uno de los problemas más difíciles de la combinatoria geométrica. Hasta ahora nadie había reclamado el premio. Pero en una reciente reunión de la Sociedad Matemática Canadiense, Ron Graham, científico jefe del Instituto de California para Telecomunicaciones y Tecnologías de la Información, y la persona a cargo del premio desde la muerte de Erdös, acordaron tras un debate con los asistentes que el descubrimiento garantizaba un premio de 250 dólares.

“El límite inferior es del orden N/(log N) en lugar del óptimo N/(log N)^{{1/2}}, pero el exponente – que es la potencia de N en el numerador – es justo 1”.

Katz, que llegó a la IU en 2004, tiene una Licenciatura en matemáticas por la Universidad de Rice y es doctor en matemáticas por la Universidad de Pennsylvania. Guth es miembro de la Facultad de Matemáticas en el Instituto para Estudios Avanzados.

El artículo, “On the Erdös distinct distance problem in the plane”, está actualmente disponible aquí, en el archivo de borradores electrónico de arXiv y ha sido enviado para su publicación a Annals of Mathematics, considerada una de las revistas matemáticas más prestigiosas del mundo. El trabajo de Katz estuvo parcialmente patrocinado por la Fundación Nacional de Ciencia.

Fecha Original: 24 de febrero de 2011
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Cuando la gente pregunta en los aviones a Alan Newell en qué trabaja, él responde que en “arreglos florales”. También podría decir “huellas digitales” u “ondas de arena” o “cómo crecen las plantas”.

“La mayoría de los patrones que ves, incluyendo los de las dunas de arena, o peces, o tigres, o leopardos, o en el laboratorio – incluso los defectos en los patrones – tienen muchas características universales”, dice Newell, Profesor Regents de Matemáticas en la Universidad de Arizona.

“Todos estos sistemas diferentes presentan características muy similares en cuanto a los patrones que forman”, señala. “Los patrones surgen en los sistemas cuando están bajo algún tipo de tensión, tensión aplicada”.

Newell habló de la universalidad de los patrones en la naturaleza y cómo se crean esos patrones, con énfasis en las plantas, el viernes 18 de febrero en la reunión anual de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia (AAAS) en el Centro de Convenciones de Washington en Washington, DC.

La charla de Newell: “La naturaleza universal de los patrones de Fibonacci”, forma parte del simposio, “El crecimiento de la Forma en Matemáticas, Física y Biología”.

El simposio se realiza en honor al 150 aniversario del nacimiento del matemático biólogo D’Arcy Wentworth Thompson.

En 1917, Thompson publicó un libro muy influyente, “Sobre el crecimiento y la forma (On Growth and Form)”, en el que sostenía que las formas biológicas están controladas más por las leyes de la física que por la evolución.

Newell está de acuerdo en que muchas de las formas biológicas – y no biológicas – de la naturaleza son producto de las fuerzas físicas, más que de la evolución.

En su charla, discutirá cómo los arreglos de flores, brácteas, cogollos y las adhesiones cerca de los brotes de las plantas – conocidas como filotaxis – son consecuencia de inestabilidades bioquímica y mecánicamente inducidas en la formación de patrones.

“Todos los hermosos patrones de las plantas tienen su origen en fuerzas mecánicas y procesos bioquímicos”, comenta.

Newell y sus alumnos abordan el problema de los patrones en las plantas desde un punto de vista mecanicista, apunta.

“Nos fijamos en el fenómeno que nos interesa, y aprendemos de ello, leemos sobre ello, nos enteramos de lo que otros dicen sobre él, y nos fijamos en la evidencia experimental”, dijo. “Luego intentamos captar lo que vemos usando modelos matemáticos”.

Los patrones se presentan cuando se rompe la simetría de un sistema, comenta Newell. La similitud en los patrones de un sistema ocurre cuando los sistemas tienen simetrías parecidas, y no porque los sistemas estén hechos de los mismos materiales.

“Las matemáticas captan elegantemente el hecho de que la estructura patrón depende más de simetrías geométricas compartidas que de las propiedades del material, ya que las ecuaciones simplificadas para todas estas distintas situaciones resultan ser muy las mismas”, apunta.

Newell dijo que: “Las matemáticas son como un buen poema, que separa lo superfluo de lo esencial y fusiona los elementos esenciales en un grano de verdad”.

Uniendo todas estas formas de la misma forma que la tabla periódica vincula los grupos de elementos químicos, la nueva tabla debería proporcionar un recursos que matemáticos, físicos y otros científicos puedan usar para cálculos e investigación en un amplio grupo de áreas, incluyendo visión por computador, teoría de números y física teórica.

“La tabla periódica es una de las herramientas más importantes de la química. Nuestro trabajo tiene como objetivo crear un directorio que liste todos los bloques básicos geométricos y los separe según las propiedades de cada uno usando ecuaciones relativamente simples”, dice el líder del proyecto Alessio Corti, del Departamento de Matemáticas del Imperial College de Londres.

Describir el ‘flujo’ de bloques básicos

Los investigadores, del Imperial College de Londres, el Grupo de Álgebra Computacional de la Universidad de Sydney e instituciones de Japón y Rusia, tienen como objetivo identificar todas las formas en tres, cuatro y cinco dimensiones que no pueden dividirse en otras formas.

A través de ecuaciones diferenciales – un tipo de ecuación matemática que expresa la relación entre una función y sus derivadas – se pueden describir las formas básicas en términos de ‘flujo’.

El matemático italiano, Gino Fano, usó una técnica durante la década de 1930 para encontrar nueve formas atómicas bidimensionales. La actual aproximación, inventada por Corti y su colega Vasily Golyshev, está basada en las ideas de la Teoría de Cuerdas para encontrar formas atómicas en dimensiones superiores.

“Estamos buscando formas especiales, llamadas variedades de Fano, que son los ‘elementos’ de nuestra tabla periódica de formas”, dice el equipo en su blog.

Explorando otras dimensiones

El equipo de Corti analizará formas que implican dimensiones que no pueden ‘verse’ en un sentido convencional en el mundo físico.

Además de las tres dimensiones de longitud, anchura y profundidad de una forma tridimensional, los científicos explorarán formas que implican otras dimensiones.

Por ejemplo, el espacio-tiempo descrito en la Teoría de la Relatividad de Einstein tiene cuatro dimensiones – las tres espaciales más el tiempo. Los teóricos de cuerdas creen que el universo está hecho de dimensiones ocultas adicionales que no pueden verse.

Resolver problemas con Magma

El colega de Corti en el proyecto, Tom Coates, también del Imperial College de Londres, ha creado un programa de modelado por ordenador que debería permitir a los investigadores observar los bloques básicos de estas formas multi-dimensionales a partir de un conjunto de cientos de millones de formas.

Los investigadores usarán el programa para identificar formas que puedan definirse mediante ecuaciones algebraicas y no puedan dividirse más. Aún no saben cuántas formas podría haber.

Los contribuyentes del Grupo de Álgebra Computacional de Sydney, liderados por John Cannon, también han desarrollado una herramienta de software matemático muy potente llamada Magma para ayudar en el descubrimiento de las variedades de Fano, señala Coates.

“Magma es una herramienta de software muy flexible que resolverá muchos problemas matemáticos, pero el Grupo de Álgebra Computacional ha añadido algunas características extra a Magma para ayudarnos en nuestra búsqueda de variedades de Fano, y han ajustado su software para hacer que nuestra búsqueda sea más eficiente”.

Útil para física y robótica

Los investigadores calculan que hay alrededor de 500 millones de formas que pueden definirse algebraicamente en cuatro dimensiones, y prevén que encontrarán unos miles de bloques básicos a partir de los cuales se crean estas formas.

“Creemos que podemos encontrar un vasto número de formas, por lo que probablemente no podrías colgar la tabla en la pared, pero esperamos que sea una herramienta muy útil”, dice Corti.

Coates añade que: “Comprender este tipo de formas es realmente importante para muchos aspectos de la ciencia. Si estás trabajando en robótica, podrías necesitar calcular la ecuación para una forma de cinco dimensiones, para descubrir cómo instruir a tu robot sobre cómo mirar un objeto y mover su brazo para cogerlo”.

“Si eres físico, podrías necesitar analizar las formas de las dimensiones ocultas del universo para comprender cómo funcionan las partículas subatómicas. Creemos que el trabajo que estamos haciendo en nuestra nuevo proyecto, finalmente ayudará a nuestro colegas en muchas ramas de la ciencia”.

“En nuestro proyecto, estamos buscando los elementos básicos de las formas. El siguiente reto es comprender cómo las propiedades de las formas más grandes dependen de los ‘átomos’ de los que están hechas. En otras palabras, queremos construir una teoría química para las formas”, dice Coates.

Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas 2.1 alojado por Tito Eliatrón Dixit

Cuando miramos al universo, la materia que vemos debe estar lo bastante cerca para que la luz nos haya alcanzado desde que se inició el universo. El cosmos tiene unos 14 000 millones de años de antigüedad, por lo que a primera vista es fácil pensar que no podemos ver cosas más allá de 14 000 mil millones de años luz de distancia.

Esto, sin embargo, no es del todo cierto. Debido a que el universo está en expansión, las cosas visibles más lejanas están mucho más lejos que eso. De hecho, los fotones del fondo cósmico de microondas han viajado unos buenos 45 000 millones de años luz para llegar aquí. Esto hace que el universo visible tenga un diámetro de 90 mil millones de años luz.

Esto es mucho, pero el universo, casi con toda certeza, es mucho mayor. La cuestión que muchos cosmólogos han evaluado es cómo de grande. Hoy, tenemos una respuesta gracias a algunos interesantes análisis estadísticos realizados por Mihran Vardanyan de la Universidad de Oxford y un par de colegas.

Obviamente, no podemos medir directamente el tamaño del universo, pero los cosmólogos tienen varios modelos que sugieren cómo de grande podría ser. Por ejemplo, una de las líneas de pensamiento es que si el universo se expandía a la velocidad de la luz durante la inflación, debería ser 10²³ veces mayor que el universo visible.

Otras estimaciones dependen de un número de factores y, en particular, de la curvatura del universo: si es cerrada, como una esfera, plana o abierta. En los últimos dos casos, el universo debe ser infinito.

Si puedes medir la curvatura del universo, puedes poner límites a cómo de grande debe ser.

Resulta que, en los últimos años, los astrónomos han desarrollado varias formas ingeniosas de medir la curvatura del universo. Una de ellas es buscar un objeto distante de tamaño conocido y medir cómo de grande aparece. Si es mayor de lo que debería ser, el universo es cerrado; si tiene el tamaño correcto, el universo es plano, y si es menor, el universo es abierto.

Los astrónomos conocen un tipo de objeto que encaja con la descripción: las ondas de los inicios del universo que quedaron congeladas en el fondo de microondas cósmico. Pueden medir el tamaño de estas ondas, conocidas como oscilaciones acústicas bariónicas, usando observatorios espaciales tales como WMAP.

Hay también otros indicadores, tales como la luminosidad de las supernovas tipo 1a de las galaxias lejanas.

Pero cuando los cosmólogos examinaron todos estos datos, distintos modelos del universo dieron distintas respuestas a la pregunta sobre su tamaño y curvatura. ¿Cuál elegir?

El avance que han realizado Vardanyan y sus colegas es encontrar una forma de promediar los resultados de todos los datos de la forma más simple posible. La técnica que usan es conocida como promedio con modelo bayesiano y es mucho más sofisticada que la curva de ajuste usual que a menudo usan los científicos para explicar sus datos.

Una analogía útil es la de los modelos iniciales del Sistema Solar. Con la Tierra en el centro del Sistema Solar, gradualmente se hizo cada vez más difícil encajar los datos observacionales con este modelo. Pero los astrónomos encontraron formas de hacerlo introduciendo sistemas cada vez más complejos, un modelo del Sistema Solar de ruedas dentro de ruedas.

Ahora sabemos que esta aproximación era completamente errónea. Una preocupación de los cosmólogos es que está llevándose a cabo un proceso similar con los modelos actuales del universo.

El promedio con modelos bayesianos automáticamente evita esto. En lugar de preguntar cómo de bien se ajusta el modelo a los datos, hace una pregunta distinta: dados los datos, cómo de probable es que el modelo sea correcto. Esta aproximación está automáticamente sesgada en contra de los modelos complejos – es una especie de Navaja de Occam estadística.

Aplicándolo a varios modelos cosmológicos del universo, Vardanyan y compañía fueron capaces de colocar importantes restricciones a la curvatura y tamaño del universo. De hecho, resulta que sus restricciones son mucho más estrictas que las permitidas por otras aproximaciones.

Dicen que la curvatura del universo está estrechamente restringida alrededor de 0. En otras palabras, el modelo más probale del universo es que sea plano. Un universo plano sería también infinito, y sus cálculos también son consistentes con eso. Estos cálculos demuestran que el universo es, al menos, 250 veces mayor que el volumen de Hubble. (El volumen de Hubble es similar al tamaño del universo observable).

Esto es grande, pero en realidad mucho más restringido que muchos otros modelos.

Y el hecho de que proceda de un método estadístico tan elegante indica que este trabajo probablemente tendrá un gran atractivo. De ser así, puede perfectamente terminar siendo usado para ajustar en detalle y restringir otras áreas de la cosmología.