Las matemáticas que describen tanto la percepción sensorial como la transmisión de información, resultan tener similitudes notables.

En 1834, el fisiólogo alemán Ernst Weber llevó a cabo una serie de experimentos para determinar los límites de la percepción sensorial. Dio a un hombre con los ojos vendados una masa para que la sostuviera, y la fue incrementando gradualmente, preguntándole al sujeto cuándo había empezado a notar el cambio.

Estos experimentos demostraron que el menor incremento de peso que puede percibir un humano es proporcional al peso inicial. El psicólogo alemán Gustav Fechner más tarde interpretó el trabajo de Weber como una forma de medir la relación entre la magnitud física de un estímulo y su intensidad percibida.

El modelo matemático resultante de este proceso es conocido como la Ley de Weber-Fechner, y demuestra que la relación entre estímulo y percepción es logarítmica. (Para una derivación más simple, ver la Wikipedia). La Ley de Weber-Fechner es importante debido a que establece un nuevo campo de estudio llamado psicofísica.

La relación logarítmica entre un estímulo y su percepción aparece en varios ejemplos bien conocidos, como la escala logarítmica de decibelios para la intensidad del sonido, y una escala similar para medir el brillo de las estrellas, su magnitud.

Hoy, Haengjin Choe de la Universidad de Corea en Corea del Sur, dice que hay una interesante conexión entre la Ley de Weber-Fechner y la famosa teoría matemática de la información desarrollada por Claude Shannon en los Laboratorios Bell en la década de 1940.

El trabajo de Shannon está entre los más importantes del siglo XX. Establece los límites en la cantidad de información que puede enviarse desde una localización del universo a otra. No es una exageración decir que toda la infraestructura de comunicaciones y computación del mundo, están basadas en el trabajo de Shannon.

Choe señala que la ley desarrollada por Shannon que vincula la cantidad de información que puede transmitirse mediante un único símbolo, también es logarítmica. De hecho, toma exactamente la misma forma que la Ley de Weber-Fechner.

Lo que esto significa es que los fenómenos psicofísicos pueden tratarse matemáticamente de la misma forma que cualquier otro tipo de transmisión de información, por lo que se abre una nueva puerta a un nuevo y extenso conjunto de herramientas matemáticas que pueden proporcionar nuevas visiones sobre la naturaleza de la percepción.

Por supuesto, la idea de que la percepción sensorial es una forma de comunicación y, por tanto, obecede a las mismas reglas, no es completamente sorprendente. Lo que es asombroso, (de ser cierto) es que la conexión no se haya advertido antes.

Artículo de Referencia: arxiv.org/abs/1002.3909: Connection Between Shannon’s Information Theory And The Weber-Fechner Law

Fecha Original: 24 de febrero de 2010
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Desde los montañosos paisajes a vista de pájaro a las erráticas trayectorias del movimiento Browniano, los patrones fractales existen a muchas escalas en la naturaleza. Los físicos creen que los fractales también están en el mundo cuántico, y ahora un grupo de investigadores de los Estados Unidos ha demostrado que, efectivamente, éste es el caso. Esta imagen muestra el patrón fractal que resulta cuando las ondas asociadas a electrones empiezan a interferir entre sí.

Un fractal es una entidad geométrica cuyos patrones básicos se repiten en tamaños cada vez más pequeños. Por ejemplo, un sistema fluvial es un patrón fractal aproximado dado que los canales se ramifican en afluentes cada vez más estrechos moviéndose corriente arriba; en cada confluencia el patrón es una versión menor de la rama anterior.

Una súbita transición

Ali Yazdani de la Universidad de Princeton en los Estados Unidos y sus colegas han revelado que estos patrones también existen a la escala de los átomos individuales en un sólido. Y la clave para este efecto es una súbita transición donde un material cambia de metal a aislante. En esta transición, las ondas asociadas con los electrones individuales pasan de extenderse a través de todo un sistema a quedar localizadas en lugares de una retícula.

En esta transición de metal a aislante, las ondas del electrón se compactan. Empiezan a afectarse entre sí en una compleja red de interferencias constructivas y destructivas, lo cual da como resultado un patrón fractal. Yazdani y su equipo fueron capaces de observar este efecto usando un microscopio de efecto túnel (STM), el cual proporcionó la resolución de escala atómica.

El material usado fue un semiconductor ferromagnético de arseniuro de galio dopado con un 5% de manganeso, elegido debido a que los investigadores están interesados en formas eficientes de convertir un semiconductor en un imán. El dopado del arseniuro de galio de esta forma se ha convertido en una aproximación popular en el emergente campo de la espintrónica – la electrónica que explota los espines de las partículas así como su carga. La espintrónica tiene el potencial de aumentar la velocidad de cálculo y la electrónica.

Descubrimiento casual

Hablando sobre su investigación, Yazdani admite que observar estos fractales no era el objetivo principal del estudio. “Hacemos esto cada día, pero una vez que logramos tener funcionando el experimento con este material, nos enfrentamos a lo que parecían patrones aleatorios”, comenta. Su grupo pasó al desarrollo de la teoría y se dio cuenta de que los electrones que observaban estaban en la posición justa.

Yazdani y su equipo trataron de desarrollar su investigación comparando el comportamiento colectivo respecto al individual en los electrones de su sistema y cómo influían en los patrones espaciales. El gran logro de esta investigación esn conectar estos patrones con teorías del magnetismo para avanzar tanto en la investigación fundamental como en el desarrollo de aplicaciones espintrónicas.

Esta investigación se publica en Science.

Autor: James Dacey
Fecha Original: 9 de febrero de 2010
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Como profesor, siempre estoy buscando experimentos de laboratorio con configuraciones simples apropiadas para los estudiantes. Actualmente mi favorito es hallar la velocidad de la luz con chocolate.

En un artículo recientemente subido a arXiv, Kevin Krisciunas de Texas A&M describe un método para determinar la excentricidad orbital de la Luna con un error sorprendentemente bajo usando apenas una regla, un trozo de cartulina y un programa para ajustar curvas a estrellas variables.

Este método hace uso del hecho de que la excentricidad pueden determinarse a través del radio del tamaño angular medio de un objeto y la mitad de su amplitud. Por tanto, el objetivo principal es medir estas dos cantidades.

La estrategia de Kevin para hacer esto es usar un agujero en una cartulina que pueda deslizarse a lo largo de una regla. Observar la Luna a través del agujero, y deslizar la cartulina adelante y atrás hasta que el tamaño angular del agujero se solape con la Luna. A partir de aquí, el diámetro del agujero dividido por la distancia que marca la regla nos da el tamaño angular gracias a la fórmula del ángulo pequeño (δ = d/D en radianes si D >> d).

Para evitar errores sistemáticos en la medida cuando la cartulina se desliza adelante hasta que el tamaño encaje con la Luna, lo mejor es tomar también otra aproximación desde el sentido opuesto; Avanzar desde el otro extremo de la regla. Esto ayudaría a reducir errores y, en el intento de Kevin, encontró que tenía una dispersión típica de ± 4 mm haciendo esto.

En este punto, hay otro error sistemático a tener en cuenta: La pupila tiene un tamaño finito comparable al agujero de visión. Esto provocará que el tamaño angular real sea subestimado. Por tanto, es necesario un factor de corrección.

Para derivar este factor de corrección, Kevin colocó un disco de 91 mm a una distancia de 10 metros (esto produciría un disco con el mismo tamaño angular que la Luna vista desde tal distancia). Para generar el mejor ajuste, el deslizamiento de la cartulina respecto al agujero de visión debería colocarse a 68,13 mm en la regla, pero debido al error sistemático de la pupila, Kevin encontró que tenía que colocarse en 821 mm. La proporción del lugar observado respecto al lugar adecuado proporcionó a Kevin el factor de corrección usado (1,205). Éste tendría que ser calibrado para cada persona concreta y también dependería de la cantidad de luz durante el momento de la observación dado que esto también afecta al diámetro de la pupila. No obstante, adoptar un único factor de corrección produce resultados satisfactorios.

Esto permite que los datos se tomen adecuadamente y puedan usarse para determinar las cantidades necesarias (el tamaño angular medio y la mitad de la amplitud). Para determinarlos, Kevin usó un programa conocido como PERDET el cual está diseñado para ajustar curvas sinsoidales para oscilaciones en estrellas variables. Cualquier programa que pueda ajustar tales curvas a puntos de datos usando un encaje χ² o un análisis de Fourier sería adecuado para este fin.

Una vez determinados el tamaño angular medio y la mitad de la amplitud a partir de tal programa, su razón proporciona la excentricidad. Para el experimento de Kevin, encontró un valor de 0,039 ± 0,006. Adicionalmente, el periodo que determinó entre perigeos fue de 27,24 ± 0,29 días, lo cual concuerda excelentemente con el valor aceptado de 27,55 días.

Autor: Jon Voisey
Fecha Original: 13 de enero de 2010
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Según Brian Conrey, director del Instituto Americano de Matemáticas (EE UU), “los viejos problemas como éste pueden parecer ‘oscuros’, pero generan gran cantidad de investigación útil e interesante, ya que los investigadores desarrollan nuevas formas de afrontarlos”.

El problema, que se planteó por primera vez hace más de mil años, tiene que ver con las áreas de triángulos rectángulos. Lo que resulta sorprendentemente problemático es determinar qué números enteros pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros o fracciones. El área de dicho triángulo recibe el nombre de “número congruente”.

Por ejemplo, el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5, muy típico en geometría, tiene un área de 1/2 x 3 x 4 = 6, con lo que 6 es un número congruente. El número congruente mínimo es 5, que es el área del triángulo rectángulo con lados 3/2, 20/3 y 41/6. Los primeros números congruentes son 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 y 21. Muchos de los números congruentes ya se conocían antes del nuevo cálculo.

Por ejemplo, todos los números de la secuencia 5, 13, 21, 29, 37, etc. son números congruentes. Pero otras secuencias similares, como 3, 11, 19, 27, 35, etc. resultan más misteriosas y hay que comprobar cada número individualmente. El cálculo encontró 3.148.379.694 nuevos números congruentes hasta un billón.

Consecuencias y planes futuros

Bill Hart, un miembro del equipo, destaca: “Lo difícil fue desarrollar una biblioteca general rápida de código informático para realizar este tipo de cálculos. En cuanto la tuvimos, no tardamos en redactar el programa especializado necesario para este cómputo en particular”. El software utilizado para el cálculo es de acceso libre, y cualquiera con un buen ordenador puede usarlo para batir el récord del equipo o realizar cálculos parecidos.

Además de los avances prácticos necesarios para este resultado, la respuesta también tenía implicaciones teóricas. De acuerdo con el matemático Michael Rubinstein, de la Universidad de Waterloo (Canadá), “hace unos años combinamos ideas de teoría numérica y física para predecir cómo se comportan estadísticamente los números congruentes, y me encantó ver que nuestra predicción era bastante precisa”. Fue Rubinstein quien retó al equipo a intentar realizar este cálculo. El método de Rubinstein predice unos 800 mil millones más de números congruentes hasta un trillón, una predicción que se podría comprobar si hubiera disponibles ordenadores con discos lo bastante grandes.

Historia del problema

El problema de los números congruentes lo planteó por primera vez el matemático persa Al-Karaji (953 – 1029). Su versión no tenía que ver con triángulos, sino que se planteaba en términos de números cuadrados, números que son cuadrados de enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… o cuadrados de números racionales: 25/9, 49/100, 144/25, etc. Él se preguntó: ¿para qué números enteros n existe un cuadrado a² de forma que a²-n y a²+n también sean cuadrados? Cuando sucede esto, n se denomina un número congruente. El nombre proviene del hecho de que hay tres cuadrados que son un módulo congruente n. Al-Karaji se vio muy influido por las traducciones árabes de las obras del matemático griego Diofanto (c.210 – c.290), quien planteó problemas similares.

En los mil años siguientes, apenas se avanzó. En 1225, Fibonacci (conocido por la “Sucesión de Fibonacci” que lleva su nombre) demostró que 5 y 7 eran números congruentes, y afirmó (sin probarlo) que 1 no es un número congruente. Quien sí lo probó fue Fermat (conocido por el “Último teorema de Fermat”) en 1659. Hacia 1915, se habían determinado los números congruentes inferiores a 100; y en 1952, Kurt Heegner aplicó técnicas matemáticas profundas al asunto, hasta demostrar que todos los números primos de la secuencia 5, 13, 21, 29… son congruentes. Pero en 1980, aún quedaban por resolver casos inferiores a 1.000.

Resultados modernos

En 1982, Jerrold Tunnell, de la Universidad de Rutgers (EE UU), logró avances significativos al explotar la conexión (utilizada por primera vez por Heegner) entre números congruentes y curvas elípticas, objetos matemáticos para los que ya se contaba con una teoría bien establecida. Encontró una sencilla fórmula para determinar si un número es o no congruente. Esto permitía que los primeros miles de casos se pudieran resolver muy rápidamente.

La cuestión es que toda la validez de su fórmula depende de lo verdadero de un caso en particular de uno de los problemas aún por resolver de las matemáticas, la conocida “Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer”. Esta conjetura es uno de los siete Problemas del milenio planteados por el Instituto de Matemáticas Clay, dotado con un premio de un millón de dólares.

Resultados como éstos son tratados en ocasiones con escepticismo, debido a la complejidad de llevar a cabo un cálculo tan grande y la posibilidad de que surjan errores en el ordenador o en la programación. Los investigadores tuvieron un cuidado especial en verificar sus resultados, realizando el cálculo dos veces, en diferentes ordenadores, utilizando algoritmos distintos y formando dos grupos independientes para redactarlos.

El equipo de Bill Hart (Universidad de Warwick, en Reino Unido) y Gonzalo Tornaría (Universidad de la República, en Uruguay) utilizó el ordenador “Selmer” en la Universidad de Warwick. Selmer tiene la financiación del Engineering and Physical Sciences Research Council del Reino Unido. La mayor parte del código se redactó en un taller realizado en la Universidad de Washington en junio de 2008.

El equipo de Mark Watkins (Universidad de Sydney, en Australia), David Harvey (Instituto Courant, NYU, en Nueva York) y Robert Bradshaw (Universidad de Washington, en Seattle) utilizó el ordenador “Sage” de la Universidad de Washington. Sage está financiado por la Fundación Nacional de Ciencia de EE UU.

El código del equipo se desarrolló durante un taller realizado en el Centro de Ciencias de Benasque Pedro Pascual- CSIC en Benasque (Huesca) en julio de 2009. Ambos talleres recibían el respaldo del Instituto Americano de Matemáticas a través de una beca de grupo de investigación dedicada (Focused Research Group) de la NSF.

Fecha Original: 22 de septiembre de 2009
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De acuerdo con la nueva propuesta, el universo no está acelerando, como sugieren las observaciones. En lugar de esto, una ola en expansión que fluye a través del espacio-tiempo provoca que las galaxias lejanas parezcan estar alejándose de forma acelerada. Esta gran ola, iniciada por el Big Bang que se cree que inició el universo, podría explicar por qué los objetos parecen estar más lejos de nosotros de lo que deberían estar de acuerdo con el Modelo Estándar de la cosmología.

“Lo que estamos diciendo es que puede que estas olas en expansión estén realmente provocando la aceleración anómala”, dijo Blake Temple de la Universidad de California en Davis. “Estamos diciendo que la energía oscura no es realmente la explicación correcta”.

Los investigadores derivaron un conjunto de ecuaciones que describen las olas en expansión que encajan con la Teoría de la Relatividad General de Einstein, y las cuales pueden también contar para la aceleración aparente. Temple esboza la nueva idea junto a Joel Smoller de la Universidad de Michigan en el ejemplar del 17 de agosto de la revista Proceedings of the National Academy of Sciences.

Aunque se necesitará más investigación para ver si se mantiene la idea, “la investigación podría cambiar la forma en que los astrónomos ven la composición de nuestro universo”, de acuerdo a un resumen de la revista.

La propia energía oscura es una solución precipitada para una verdad incómoda descubierta por los astrónomos a finales de la década de 1990: que el universo se está expandiendo, y que el índice de esta expansión parece está aumentando su velocidad de forma constante.

Para explicar este asombroso hallazgo, los cosmólogos invocaron la energía oscura, una hipotética forma de energía que está separando el universo en todas las direcciones (observa que la energía oscura es un concepto completamente distinto de la igual igualmente misteriosa de materia oscura – una forma hipotética de materia que puebla el universo, interactuando gravitatoriamente con la materia normal, pero que no puede verse a la luz). En esta interpretación, todo el universo se está inflando como un globo, y desde un punto dado dentro del mismo, todos los objetos lejanos parecen estar alejándose aceleradamente de ti.

Pero nadie está contento con la explicación de la energía oscura.

“Simplemente parece una corrección poco natural a las ecuaciones – es como un fctor chapucero”, dijo Temple a SPACE.com. “Las ecuaciones no tienen tanto sentido físico cuando lo colocas dentro. Simplemente lo colocas para que encaje con los datos”.

Temple cree que la idea de una ola expansiva tiene más sentido.

“En esta etapa creemos que es una teoría muy plausible”, dijo. “Estamos diciendo que no hay aceleración. Las galaxias están fuera del sitio en el que se supone que deberían estar debido a que estamos en las consecuencias de una ola que puso las galaxias en una posición ligeramente distinta”.

Temple comparó la ola a lo que sucede cuando lanzas una roca en un estanque. En este caso, la roca sería el Big Bang, y las ondulaciones concéntricas que resultan son una serie de olas a través del universo. Luego, cuando empezaron a formarse las primeras galaxias, se forman en un espacio-tiempo que ya está desplazado respecto a donde debería haber estado sin la ola. Por lo que cuando observamos estas galaxias con los telescopios, no parecen estar donde se esperaría si nunca hubiese habido una gran ola.

Un problema potencial de esta idea es que podría requerir una gran coincidencia.

Para que el universo parezca estar acelerándose al mismo ritmo en todas las direcciones, nosotros en la Vía Láctea tendríamos que estar cerca del centro del anillo de olas, en el punto donde tuvo lugar en Big Bang y se iniciaron las ondulaciones. Temple admite que esto es una coincidencia, pero dijo que es posible que simplemente estemos en el centro de una ola menor que afecta a las galaxias que podemos ver desde nuestro punto – no tenemos que estar en el centro del universo para que la idea funcione.

Autor: Clara Moskowitz
Fecha Original: 17 de agosto de 2009
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Calma. Hasta hace poco, merodeando en los oscuros huecos de la existencia matemática, podría haber una esfera realmente extraña de 254 dimensiones, o 510, o 1026. De hecho, por lo que se sabía, podrías haber tenido que preocuparte por extrañas esferas cuando visitases cualquier espacio con un número de dimensiones del tipo 2^k – 2.

No por más tiempo. “Esta noche podremos dormir un poco mejor”, bromeaba el físico matemático John Baez de la Universidad de California en Riverside, en su blog. Baez se refería al anuncio hecho por los matemáticos Michael Hopkins de la Universidad de Harvard, Michael Hill de la Universidad de Virginia y Douglas Ravenel de la Universidad de Rochester que han solventado una pregunta de hace 45 años conocida como el problema del invariante de Kervaire. De confirmarse, sus resultados ponen la guinda a una parte gloriosa de las matemáticas de la década de 1960: la clasificación de esferas “exóticas” de dimensiones superiores. El problema de Kervaire era un gran obstáculo en el camino hacia la comprensión de espacios multidimensionales, y su solución podría tener implicaciones en campos igualmente exóticos del campo de la física como la Teoría de Cuerdas.

Cuando los matemáticos hablan de espacio de dimensiones superiroes, se refieren al número de variables, o dimensiones, necesarias para situar un punto en dicho espacio. La superficie de la Tierra es bidimensional debido a que son necesarias dos coordenadas — latitud y longitud – para especificar cualquier punto sobre ella. En términos más formales, la esfera estándar bidimensional es un conjunto de puntos equidistantes de un punto en 2 + 1 = 3 dimensiones. Más generalmente, la esfera n-dimensional estándar, o n-esfera para abreviar, es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto central en un espacio de n + 1 dimensiones. Las esferas están entre los espacios más básicos de la topología, la rama de las matemáticas que estudia qué propiedades permanecen sin cambios cuando se deforma un objeto sin aplastarlo o desmembrarlo. La topología aparece en muchos estudios, incluyendo aquellos que intentar determinar la forma de nuestro universo.

En los últimos años los matemáticos han completado la clasificación de espacios 3-D que son “compactos”, lo que significa que son finitos y sin bordes. (Una esfera es compacta, pero un plano infinito no). Por tanto, han calculado las topologías de todos los universos posibles, siempre que esos universos sean compactos y tridimensionales. En más de tres dimensiones, no obstante, la clasificación completa ha resultado ser intratable e incluso lógicamente imposible. Los topólogos habían esperado al menos que los espacios simples como las esferas fuesen lo bastante fáciles.

John Milnor, ahora en la Universidad Stony Brook, las cosas se complicaron un poco en la década de 1950 cuando descubrió la primera 7-esfera “exótica”. Una n-esfera exótica es una esfera desde el punto de vista de la topología. Pero no es equivalente a la n-esfera estándar desde el punto de vista del cálculo diferencial, el lenguaje en el que se formulan las teorías físicas. La discrepancia tiene consecuencias para ecuaciones tales como las que describen el movimiento de partículas o la propagación de ondas. Esto significa que las soluciones a tales ecuaciones (o incluso sus formulaciones) en un espacio no pueden ser mapeadas sobre el otro sin desarrollar desvíos, o “singularidades”. Físicamente, las dos esferas son diferentes, mundos incompatibles.

En 1963 Milnor y su colega Michel Kervaire calcularon el número de 7-esferas exóticas y encontraron que había exactamente 27 distintas. De hecho, calcularon el número de n-esferas para cualquier n por encima de cinco. Sus cálculos, no obstante, tenían una ambigüedad — un posible factor de dos — cuando n es un número par. William Browder de la Universidad de Princeton más tarde eliminó la ambigüedad, excepto para dimensiones del tipo n = 2^k – 2, empezando en k = 7 — específicamente, 126, 254, 510, etcétera. En otras palabras, los matemáticos sólo podían adivinar el número de esferas exóticas en estas dimensiones dentro de un factor de dos, conocido como el invariante de Kervaire debido a su relación con el concepto anteriormente inventado por Kervaire.

Hopkins y sus colegas creen que han encontrado una forma de eliminar dicha ambigüedad. En su demostración, la cual implica una intrincada jerarquía de sistemas algebraicos llamada grupos de homología, demuestran que el factor de dos no existe en ninguna de esas dimensiones excepto posiblemente en el caso de 126, la cual, por razones técnicas, no se aborda en su estrategia de demostración. (En realidad hay otra gran excepción: el caso 4-D. Aunque no hay 1-, 2- o 3-esferas exóticas, nadie tiene ninguna pista sobre si existe 4-esferas exóticas o no).

Aunque los investigadores no han publicado aún su demostración, dice Hopkins, “Tengo tanta confianza como pueda tenerse” sin una revisión por pares de que la demostración es correcta. Gunnar Carlsson, topólogo de la Universidad de Stanford, dice que sólo ha oído “un esbozo superficial de la demostración propuesta” de Hopkins pero es “optimista en que los ingredientes puedan estar perfectamente ahí para la resolución de este problema”. Y este es el momento adecuado, si no dormías preocupado por las esferas extrañas.

Autor: Davide Castelvecchi
Fecha Original: 24 de julio de 2009
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Un barroco campo da un soplo de aire fresco en la física de materia condensada.

Hasta recientemente, la Teoría de Cuerdas – anunciada desde hace mucho como una ‘teoría del todo’ — no había sido particularmente buena explicando nada, pero en un taller este mes en el Instituto Kavli de Física Teórica en Santa Bárbara, California, los científicos han estado usando la teoría para hacer progresos en abordar uno de los mayores misterios de la física de materia condensada: el origen de la superconductividad de alta temperatura.

La Teoría de Cuerdas sugiere que cuerdas vibrantes que existen en 10 dimensiones apuntalan el universo observable. Aunque tal premisa básica aún está muy en duda — y por el momento es imposible de comprobar experimentalmente — algunas de las herramientas matemáticas usadas en la Teoría de Cuerdas en los últimos años se han aplicado para describir el comportamiento de partículas de plasmas calientes y redes superenfriadas de átomos.

La última afirmación de la Teoría de Cuerdas es que es una herramienta clave para explicar el comportamiento normal de materiales que conducen la electricidad sin resistencia a temperaturas relativamente altas. La teoría que explica la superconductividad convencional a temperaturas cercanas al cero absoluto está bien desarrollada — pero la teoría que explica el comportamiento de una segunda clase de materiales, que pueden superconducir a temperaturas de hasta 70K, sigue siendo un misterio. Explicando el comportamiento normal de estos materiales justo por encima de la temperatura de superconducción, los teóricos de cuerdas esperan lograr un mejor manejo de la propia superconductividad a alta temperatura.

“Sugiere que estamos al borde de la comprensión de un nuevo estado de la materia usando una descripción de la Teoría de Cuerdas”, dice Subir Sachdev, teórico de materia condensada en la Universidad de Cambridge en Massachusetts, que co-organizó el taller. En el taller, Sachdev y sus colaboradores hicieron circular el artículo, aún ni siquiera en preimpresión, en el cual sostienen su afirmación de un modelo de Teoría de Cuerdas para los superconductores de alta temperatura.

Encontrar nuevas aplicaciones para las matemáticas de la Teoría de Cuerdas es revitalizante para el campo, dice el investigador de posdoctorado de la Universidad de Harvard Sean Hartnoll, otro co-organizador del taller. “Ahora tiene el sentimiento de ser un caldero de ideas”.

Complejidad barroca

La Teoría de Cuerdas se inició a finales de la década de 1960 como una herramienta para explicar las fuerzas fuertes entre las partículas atómicas nucleares, pero fue reemplazada en la década de 1970 por la más exitosa teoría de la cromodinámica cuántica (QCD). La Teoría de Cuerdas tomó su propio camino, adquiriendo capas cada vez más barrocas de complejidad matemática. Algunos físicos encuentran anatema que la única forma de que puedan comprobarse las teorías resultantes requiera energías mucho mayores de las actualmente posibles de lograr en los aceleradores de partículas.

Pero en 2005, la Teoría de Cuerdas finalmente encontró su camino, aunque indirectamente, en un acelerador: el Colisionador de Iones Pesados Relativista (RHIC) en el Laboratorio Nacional Brookhaven en Nueva York. Los científicos descubrieron que la Teoría de Cuerdas podía ser tan útil como la QCD para explicar las fuerzas nucleares fuertes implicadas en un plasma de quark–gluón. Este nuevo estado de la materia, comprendiendo los constituyentes básicos de protones y neutrones, se creó en el caliente puré generado en el RHIC. La clave de este descubrimiento una técnica matemática de la Teoría de Cuerdas que abarca los principios de holografía, en los que la información contenida en una dimensión superior puede incrustarse en una dimensión inferior — de la misma forma que las imágenes tridimensionales pueden almacenarse en una holograma plano bidimensional.

Desde entonces, investigadores como Sachdev y Hartnoll han extendido las técnicas holográficas para regímenes más fríos de materia condensada. Las mismas herramientas de la Teoría de Cuerdas han ayudado a explicar el comportamiento de puntos críticos cuánticos — los cambios en la materia enfriada cerca del cero absoluto cuando los efectos mecánico cuánticos empiezan a dominar su comportamiento.

Esto, a su vez, ha permitido a los físicos describir el comportamiento cuántico de una variedad de sistemas, incluyendo redes inducidas por láser de átomos superfríos, y ahora la superconductividad de alta temperatura.

El famoso crítico a la Teoría de Cuerdas, Peter Woit, matemático en la Universidad de Columbia en Nueva York, duce que usar la Teoría de Cuerdas como herramienta de esta forma puede ser útil, pero no son pruebas de la propia teoría. “Simplemente porque un modelo funcione en un contexto, no significa que puedas unificar toda la física y lograr una teoría fundamental de la realidad”, dice.

Joseph Polchinski, teórico de cuerdas en el Instituto Kavli y el tercer organizador de la conferencia, defiende que si las mismas herramientas de la Teoría de Cuerdas usadas para describir los agujeros negros pueden explicar el comportamiento de los electrones en un metal, el cruce permitirá a la Teoría de Cuerdas aplicaciones en un área que beneficie a otros campos.

El entusiasmo se está contagiando, añade. El instituto recibió 110 solicitudes para apenas 30 plazas en el taller — el taller más duro que recuerda. Una hazaña dado que cuando se organizó hace 18 meses hubo menos de una docena de artículos publicados sobre el tema. “Fue claramente una buena apuesta”, dice Polchinski. “Está claro que aquí hay una nueva ciencia interesante”.

Artículo de Referencia: Nature | doi:10.1038/news.2009.699

Autor: Eric Hand
Fecha Original: 19 de julio de 2009
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“Los matemáticos han estudiado los números primos durante siglos”, dijo Lacasa a PhysOrg.com. “Nuevas visiones y conceptos procedentes de la ciencia no lineal, como los procesos multiplicativos, nos ayudan a observar los números primos desde una perspectiva diferente. De acuerdo con este enfoque, se hace significativo que incluso hoy aún es posible descubrir pistas desconocidas de regularidad estadística en tales secuencias, sin ser un experto en teoría de números. No obstante, el tema más significativo de este trabajo no es revelar este patrón en los primos y ceros de Riemann, sino comprender la razón e implicaciones de una estructura tan inesperada, no sólo para temas de teoría de números sino, de forma interesante, para otras disciplinas también. Por ejemplo, estos resultados profundizan en nuestra comprensión de las correlaciones en sistemas compuestos por muchos elementos”.

La Ley de Benford (LB), llamada así por el físico Frank Benford en 1938, describe la distribución de los primeros dígitos en una amplia variedad de conjuntos de datos y secuencias matemáticas. De forma un tanto inesperada, los primeros dígitos no están distribuidos aleatoria o uniformemente, sino que el lugar de esto la distribución en logarítmica. Es decir, 1 como primer dígito aparece aproximadamente un 30% de las veces, y los siguientes dígitos aparecen cada vez con menor frecuencia, con el 9 apareciendo con menor asiduidad. La ley de Benford se ha demostrado que describe distintos conjuntos de datos, desde las constantes físicas a la longitud de los ríos del mundo.

Desde finales de la década de 1970, los investigadores han sabido que los propios números primos, cuando se toman en conjuntos de datos muy grandes, no se distribuyen de acuerdo con la Ley de Benford. En lugar de esto, la distribución del primer dígito de los primos parece ser aproximadamente uniforme. Sin embargo, como señalan Luque y Lacasa, en menores conjuntos de datos (intervalos) de primos exhiben un claro sesgo en la distribución del primer dígito. Los investigadores notaron otro patrón: cuanto mayor es el conjunto de datos de primos que analizaban, más estrechamente se aproximaba a la uniformidad la distribución del primer dígito. A la luz de esto, los investigadores se preguntaron su existía un patrón subyacente en la tendencia hacia la uniformidad cuando el intervalo de primos se incrementaba a infinito.

El conjunto de todos los primos – como el conjunto de todos los enteros – es infinito. Desde un punto de vista estadístico, una dificultad en este tipo de análisis es decidir cómo elegir de forma “aleatoria” en un conjunto de datos infinito. Por lo que debe elegirse un intervalo finito, incluso si no es posible hacerlo completamente aleatorio de una forma que satisfaga las leyes de la probabilidad. Para superar este punto, los investigadores decidieron elegir varios intervalos de la forma [1, 10^d]; por ejemplo, 1-100 000 para d = 5, etc. En estos conjuntos, todos los primeros dígitos eran igualmente probables a priori. Por lo que si surgía un patrón en el primer dígito de los primos en un conjunto, revelaría algo sobre la distribución del primer dígito de los primos, al menos en ese conjunto.

Observando múltiples conjunto conforme d se incrementaba, Luque y Lacasa pudieron investigar cómo cambia la distribución del primer dígito cuando el conjunto de datos se incrementa. Encontraron que los primos seguían una Ley de Bendford Generalizada dependiente del tamaño (LBG). Una LBG describe la distribución de números del primer dígito en series que se generan por distribuciones de la ley de potencias, tales como [1, 10^d]. Conforme d se incrementa, la distribución del primer dígito de primos se hace más uniforme, siguiendo una tendencia descrita por la LBG. Tal y como explica Lacasa, tanto la LB como la LBG se aplican a muchos procesos de la naturaleza.

“Imagina que tienes 1000 dólares en tu cuenta del banco, con un interés del 1% cada mes”, dijo Lacasa. “El primer mes, tu dinero será 1000*1,01 = 1010.El siguiente mes, 1010*1,01, etcétera. Trasr n meses, tendrás 1,000*(1,01)ⁿ. Nota que necesitarás muchos meses para llegar de 1000 a 2000, mientras que pasar pasar de 8000 a 9000 será mucho más fácil. Cuando analices tu cuenta del banco, te darás cuenta que el primer dígito 1 está más representado que 8 o 9, precisamente como dicta la Ley de Benford. Este es un ejemplo muy básico de un proceso multiplicativo donde 0,01 es la constante de multiplicación.

“Los físicos han demostrado que muchos procesos de la naturaleza pueden ser modelados como procesos estocásticos multiplicativos, donde el valor anteriormente constante de 0,01 es ahora una variable aleatoria y los datos equivalentes al dinero de nuestro último ejemplo es otra variable aleatoria con una distribución subyacente de 1/x. Los procesos estocásticos con tales distribuciones se demuestra que siguen la LB. Ahora, muchos otros fenómenos encajan mejor en un proceso estocástico con una probabilidad subyacente más general x^[-alfa], donde alfa es distinto de uno. La distribución del primer dígito que se relaciona con esta distribución general de potencias es la conocida como Ley de Bendford Generalizada (la cual converge a LB para alfa =1).”

De forma significativa, Luque y Lacasa demostraron en su estuvio que la LBG puede explicarse mediante el teorema del número primo; específicamente la forma de la densidad local media de las ciencias es la responsable del patrón. Los investigadores también desarrollaron un marco de trabajo matemático que proporciona condiciones para que cualquier distribución conforme una LBG. Las condiciones se basan en anteriores investigaciones, las cuales han demostrado que el comportamiento de Benford podría tener lugar cuando una distribución sigue una LB para unos valores concretos de sus parámetros, como en el caso de los primos. Luque y Lacasa también investigaron la secuencia de ceros no triviales de zeta Riemann, la cual está relacionada con la distribución de los primos, y cuya distribución de los ceros se considera que es uno de los problemas matemáticos más importantes por resolver. Aunque la distribución de los ceros no sigue una LB, aquí los investigadores encontraron que sigue una LBG dependiente del tamaño, como en el caso de los primos.

Los investigadores sugieren que este trabajo podría tener distintas aplicaciones, tales como identificar otras secuencias que no tengan distribuciones de Benford, pero puedan estar en una LBG. Ademñas, muchas aplicaciones que han sido desarrolladas para la Ley de Benford podrían finalmente ser generalizadas al contexto más amplio de la Ley de Benford Generalizada. Una de tales aplicaciones es la detección de fraudes: mientras que los datos generados de forma natural obedecen la Ley de Benford, los datos supuestos como aleatorios (fraudulentos) no lo hacen, en general.

“La LB es un caso específico de LBG”, explicó Lacasa. “Muchos procesos en la naturaleza pueden ajustarse a una LBG con alfa=1, es decir, una LB. La estructura oculta que cuantifica la Ley de Benford se pierde cuando los números se modifican artificialmente: este es un principio para la detección de fraude en las cuentas, donde se aplican los mecanismos combinatorios asociados a los conjuntos de cuentas tales como la LB. El mismo principio se mantiene para procesos que siguen una LBG con un alfa genérico, donde falla la LB. Por último, para procesos cuya densidad subyacente no es x^(-alfa) sino 1/logN, una LBG dependiente del tamaño sería el distintito correcto”.

Más información: Bartolo Luque and Lucas Lacasa. “The first digit frequencies of primes and Riemann zeta zeros.” Proceedings of the Royal Society A. doi: 10.1098/rspa.2009.0126.

Autor: Lisa Zyga
Fecha Original: 8 de mayo de 2009
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Esa es la afirmación del físico Saibal Mitra de la Universidad de Amsterdam en los Países Bajos, y se predice en base a la existencia de universos paralelos.

La idea de “muchos mundos” es una interpretación de la Teoría Cuántica – nuestra mejor descripción del mundo microscópico de los átomos y sus constituyentes. Los muchos mundos toman literalmente la idea de la Teoría Cuántica de que una entidad cuántica como un átomo puede existir en muchos estados a la vez, y propone la existencia de universos paralelos que contienen infinitas copias de ti con distintas historias y futuros.

Para comprender cómo podría permitir un escenario de muchos mundos evitar un desastre futuro, dice Mitra, considera una hipotética máquina inteligente que regularmente haga una copia de seguridad de su memoria. Si se encuentra con un error, por ejemplo, podría resetear su memoria, digamos, al estado del día anterior.

Imagina que tiene conocimiento de un desastre inminente – tal vez un impacto catastrófico de asteroide en el planeta – y la máquina resetea su memoria. Ahora, un observador sentado cerca de la máquina puede verificar que la “misma máquina” aún se enfrenta al desastre tras el reseteo. Pero desde la perspectiva del reseteo de memoria de la máquina, el estado del universo en el escenario de muchos mundos se hace “indeterminado”. Después de todo, para todas las máquinas conocidas, el reseteo probablemente tuvo lugar por una razón mundana, tal como una caída del sistema operativo.

La siguiente parte desafía nuestros instintos naturales: de acuerdo con la interpretación de muchos mundos, todas estas posibilidades indeterminadas existen en realidad y se abren a la máquina. Incluso aunque siguiera una particular historia tras su reseteo, podría jugar una nueva carta, dice Mitra. Dado que, desde su perspectiva involuntaria, la máquina podría “cambiar” a un universo paralelo. La probabilidad de un reseteo de memoria debido a un extraño evento como un impacto de asteroide sería mucho menor que la probabilidad de un reseteo rutinario debido a un error, y por tanto habrá muchos más universos en los que el desastre no ocurra. “Por consiguiente, la máquina casi con certeza se encontrará en uno de esos universos y evitará la catástrofe”, dice Mitra (www.arxiv.org/abs/0902.3825).

“Si pudiésemos encontrar una forma de resetear nuestro conocimiento de un desastre inminente, también podríamos evitarlo”, dice. La parte mala de estos reseteos de memoria, no obstante, es que existe una pequeña posibilidad de que “despiertes” en un universo que se enfrente a un desastre cataclísmico más peligroso del que intentabas escapar. “Tienes que sopesar si merece la pena asumir el riesgo”, concede Mitra.

“Si es correcto, es un resultado intrigante”, dice Max Tegmark del Instituto Tecnológico de Massachusetts, “incluso si sólo puede aplicarse para seres futuros cuyas mentes sean computadores cuánticos y no seres humanos como nosotros con cerebros cálidos y húmedos donde las superposiciones cuánticas se destruyen rápidamente”.

David Deutsch de a Universidad de Oxford, cuyo trabajo ha dado soporte matemático a la idea de muchos mundos, señala que las conclusiones basadas en las probabilidades de de salidas en universos paralelos es especulativa, y por tanto sospecha que Mitra está equivocado. No obstante, señala que “la probabilidad aún no se comprende lo suficientemente bien como para decirlo de forma definitiva”.

Escuchar a Ed Witten hablar sobre física puede ser un poco inquietante. Sus concisas respuestas recuerdan a pasos en una demostración lógica: su gramática no tiene fallos y sus ojos se cierran ocasionalmente cuando traduce el gran barrido de conocimiento que le ha llevado a lograr su exosférico estatus académico. Este hombre de palabras suaves te lleva a un estado de confusión mental.

Este año Witten está en Europa, en un año sabático en el laboratorio de física de partículas del CERN cerca de Ginebra en Suiza, donde se sacudirán los matemáticos de la realidad en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC). Cuando esto sucedía, llegó el último día de septiembre en el que el LHC se conectaría. “Ed es muy activo, por lo que es genial tenerlo por aquí”, dices Luis Álvarez-Gaume, jefe del departamento de teoría del CERN. “Es un genio, simple y llanamente”.

Tales honores no han asegurado a Witten una lujosa oficina, como descubrí cuando me encontré con él en su austero alojamiento en el CERN. No parece muy cómodo con las efusivas descripciones que a veces se le aplican – tales como el “hombre más inteligente del mundo ” o el “sucesor de Einstein”. “Créeme”, dice, “definitivamente, no soy Einstein”. Aunque estos apodos está basados en algo más que exageraciones. Durante los últimos 25 años Witten ha estando en la primera línea de los intentos por unificar las fuerzas fundamentales de la naturaleza en un único marco de trabajo – un objetivo perseguido por Einstein durante un periodo similar. Y tiene acreditados el mayor número de artículos de gran impacto que cualquier otro físico vivo.

La búsqueda de Witten – como la de Einstein – ha sido llevada a cabo en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Einstein falló, pero Witten tiene una caja de herramientas más sofisticada a su disposición: la Teoría de Cuerdas, la cual intenta explicar todas las partículas fundamentales y fuerzas en términos de cuerdas infinitesimales oscilando en seis o siete dimensiones más allá de nuestras cuatro dimensiones familiares del espacio y tiempo. Witten ha hecho numerosas grandes contribuciones a la Teoría de Cuerdas, la más famosa en 1995 tras llegar a las ideas que generaron un marco de trabajo de 11 dimensiones más general conocido como Teoría M mientras estaba en un vuelo de Boston a Princeton.

La década de 1980 y 1990 estuvo salpicada de afirmaciones eufóricas por parte de los teóricos de cuerdas. Entonces en 2006 Peter Woit de la Universidad de Columbia en Nueva York y Lee Smolin del Instituto Perimeter para Física Teórica en Waterloo, Canadá, publicaron libros de divulgación sobre la Teoría de Cuerdas en las que se abordaba su falta de comprobabilidad y su predominancia en el mercado de trabajo para los físicos. Witten no ha leído el libro, y compara la “guerra de las cuerdas” alrededor de su publicación – que ha sido ampliamente difundida en los medios y blogs – con el alboroto provocado por el libro de 1995 The End of Science, el cual defendía que la era de los descubrimientos científicos revolucionaros había terminado. “Ni la publicidad alrededor del libro ni el hecho de que la gente perdiera interés en hablar sobre ello después de un tiempo reflejó ningún cambio en el clima intelectual subyacente”.

Tampoco afirmaría Witten que la Teoría de Cuerdas no tiene problemas. Ha pasado gran parte de su carrera estudiando posibles soluciones que surgen cuando se proyecta la teoría de cuerdas de 10 u 11 dimensiones sobre un mundo 4D. Existe un vasto número de posibles formas de hacer esto – tal vez 10⁵⁰⁰ según algunas cuentas. Pero hace una década lo que parecía un problema se convirtió en virtud a los ojos de muchos teóricos de cuerdas. Los astrónomos descubrieron que la expansión de universo se estaba acelerando. Esto sugiere que lo que nos parece espacio vacío en realidad está impregnado de una misteriosa sustancia caracterizada por un concepto ideado por Einstein conocido como “constante cosmológica”.

Witten lo reconoce como el descubrimiento más impactante desde que él está en el campo. Si esta constante cosmológica – la cual tiene un valor ridículamente cercano a cero – fuese ligeramente mayor o menor, las galaxias nunca podrían haberse formado – al menos, no como las conocemos. Con tantos modelos 4D generados por la Teoría de Cuerdas, algunos de ellos están ligados a tener una constante cosmológica pequeña pero no cero, justo como en nuestro universo – y que, continúa el argumento, también encaja con la idea de la cosmología de que nuestro universo podría ser uno entre una serie infinita de universo que forman un multiverso. Witten no está completamente de acuerdo con esta interpretación, pero lo ve como una interesante.

Este es uno de los problemas sobre el que el LHC no arrojará mucha luz de forma directa, y es improbable que Witten vea algún dato del colisionador durante su estancia en el CERN. Nueve días después de su llegada, justo cuando la máquina iba a generar sus primeras colisiones, un fallo eléctrico la cerró durante un año. Witten está claramente disgustado por habérselo perdido.

Su escenario soñado es que el LHC descubra que la física fundamental colapsa en las energías extremadamente altas del colisionador. Esto implicaría que la naturaleza es mucho más interesante de lo que habíamos pensado anteriormente que era, por ejemplo conteniendo dimensiones extra mayores, y puede que ayude a aclarar el camino para una teoría unificada de las fuerzas fundamentales de la naturaleza. Como poco, espera que el LHC nos dirá por qué tres de estar fuerzas – descritas con espectacular detalle en el Modelo Estándar de la física de partículas – son mucho más fuertes que la gravedad.

Para Witten, la explicación más atractica para esto sería la supersimetría. Ésta describe que cada partícula conocida tiene un primo más pesado – el cual debería ser capaz de encontrar el LHC. Dado que la supersimetría está también profundamente entrelazada con la Teoría de Cuerdas, su descubrimiento también sugeriría que Witten está en el camino adecuado en su búsqueda de una teoría unificada de la física. Esta es la visión optimista, no obstante, y Witten parece resignado ante la posibilidad de que los humanos no seamos lo bastante inteligentes para resolver la Teoría de Cuerdas. “La Teoría de Cuerdas no hace lo que la gente quiere que haga”, dice. Trabajando en la vanguardia de las matemáticas de alto nivel y la física teórica, Witten a veces genera resultados que es difícil de trasladar a otra gente. Ve algunos aspectos de su trabajo como una labor de amor que no pueden apreciarse a corto plazo.

Todo esto procedente de un graduado en arte que no hace ascos a pasar unas horas viento un partido de tenis o la Super Bowl. Witten se graduó en historia y luego tuvo algunos escarceos con la economía antes de cambiar a las matemáticas y la física. “Me di cuenta de que tenía más talento para las matemáticas y la física, pero no estaba seguro de querer seguir ese camino”, dice. El director de tesis de Witten, David Gross, quién ganó el Premio Nobel de física de forma compartida en 2004, recuerda sentirse impresionado por su estudiante, pero, como a Witten, no le gustan las comparaciones con Einstein. “El espacio de capacidades es multidimensional”, dice Gross. “En ciertos ejes, como la matemática abstracta, Witten supera a Einstein mientras que en otros Einstein está muy por delante”. Chiara Nappi, físico teórico en la Universidad de Princeton que ha estado casada con Witten durante 30 años – y que también están en su año sabático en el CERN – descarta las comparaciones como totalmente pasadas de moda. “Las técnicas han avanzado tanto que no es concebible en estos días ser capaz de hacer tu trabajo en una oficina de patentes en Berna”, dice.

Entonces, ¿está llegando Witten a una teoría unificada? Dice que el descubrimiento hace 10 años de que los neutrinos tenían masa ya es una posible prueba de que las tres fuerzas del modelo estándar se describan mediante una “gran teoría unificada” a altas energías. Reconoce que la visión más influyente de la Teoría de Cuerdas llegará de la generación más joven, pero Nappi no está tan segura. Cita un reciente estudio que demuestra que los científicos de 50 y 60 años son al menos tan productivos como los treintañeros, si no más. “Estamos planeando hacer mucho más trabajo ahora que nuestros hijos se han mudado”, dice. Es una posibilidad tremenda: Ed Witten podría estar llegando a la flor de la vida.

Autor: Matthew Chalmers
Fecha Original: 8 de abril de 2009
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