Bosones y fermiones, esos famosos desconocidos.

Muchas veces leemos en textos divulgativos que las partículas son fermiones o bosones y que eso es muy importante, principalmente porque los fermiones satisfacen el Principio de exclusión de Pauli y los bosones no.  Es decir, dos o más fermiones no pueden estar en el mismo estado y sin embargo los bosones sí pueden.

Esto da lugar a curiosos y determinantes fenómenos que configuran la forma de comportarse de nuestro universo.  Por decir alguno, el principio de exclusión de Pauli controla cómo se llenan los orbitales atómicos, lo cual determina la química en alto grado.  Y para los bosones, que pueden estar todos en el mismo estado, permite que haya cosas como los condensados de Bose-Einstein.

En esta entrada lo único que nos proponemos es clarificar qué es un fermión y qué es un bosón y explicar de dónde sale el Principio de exclusión de Pauli.  Y para hacer eso lo primero que tenemos que hacer es explicar un poco qué es el espín de una partícula.

El espín

Las partículas están fundamentalmente caracterizadas por su masa y su carga.  El electrón es un electrón porque es una partícula que tiene la masa del electrón y la carga del electrón (por supuesto existen otras cargas, la carga de color que controla la interacción fuerte, el sabor, etc.).  Pero además de esto se descubre que las partículas tienen otra propiedad denominada espín. Ésta es una característica inherente a las partículas, como su masa o su carga.  Esta característica no tiene análogo clásico, es decir, desde el punto de vista no cuántico el espín de las partículas es irrelevante.  Se puede buscar la analogía con un giro de la partícula sobre sí misma, pero la analogía es limitada y por supuesto incorrecta.  Así que en vez de hablar de giros simplemente asumiremos que una partícula viene determinada por su masa, su carga y su espín.

El espín tiene su importancia ya que la distinción entre fermiones y bosones se basa en los valores que puede tomar esta característica.  El espín se mide en unidades de la constante de Planck:

\hbar=\frac{h}{2\pi}

 

y los valores que puede tomar son 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2,…  Así podemos decir:

Los fermiones son las partículas con espín semientero y los bosones son las partículas con espín entero.

¿Y eso qué implica?, ¿por qué dos o más fermiones no pueden estar en el mismo estado y los bosones sí?

Esta pregunta se resuelve fácilmente mediante un teorema, se llama teorema espín-estadística.  No entraremos a formular el teorema ni su demostración, aunque  es muy divertido, pero lo enunciaremos y pondremos un simple ejemplo (totalmente inventado) para ver qué implica.

Teorema Espín-Estadística

Si tenemos dos partículas fermiónicas el estado total de ambas partículas se escribirá como una combinación antisimétrica de los estados individuales de cada una de ellas.

Si tenemos dos partículas bosónicas el estado total de ambas partículas se escribirá como una combinación simétrica de los estados individuales de cada una de ellas.

Inventemos una característica imaginaria, pura fantasía, pero que servirá para capturar la esencia de todo esto.

Supongamos que tenemos una partícula y que el estado de tal partícula es ser peluda o ser calva.

Si tengo dos partículas entonces está claro que las combinaciones son:

1º partícula peluda – 2º partícula peluda
1º partícula peluda – 2º partícula calva
1º partícula calva – 2º partícula peluda
1º partícula calva – 2º partícula calva

Si las partículas son fermiones el teorema espín-estadística nos dice que el estado total tiene que ser antisimétrico.  ¿Y eso cómo se come?

Eso es fácil, un estado es antisimétrico cuando al cambiar la característica de interés de la partícula 1 a la 2 el estado cambia de signo.  Así que sólo nos queda una opción en este ejemplo inventado:

|Estado_{total}\rangle=|1 peluda\rangle |2 calva\rangle -|1 calva\rangle |2 peluda\rangle

 

Si intercambiamos la característica de 1 a 2 y viceversa nos queda:

|Estado_{total}'\rangle = |1 calva\rangle |2 peluda\rangle -|1 peluda\rangle |2 calva\rangle

 

Pero observemos que:

|Estado_{total}'\rangle = |1 calva\rangle |2 peluda\rangle -|1 peluda\rangle |2 calva\rangle = -\left(|1 peluda\rangle |2 calva\rangle -|1 calva\rangle |2 peluda\rangle\right)=-|Estado_{total}\rangle

Análogamente los bosones tienen que ser combinaciones simétricas, y suponemos que ahora no será fácil de imaginar que dichas combinaciones son las que no cambian de signo al cambiar la característica de interés de la partícula 1 a la 2 y viceversa.

Por lo tanto, para bosones tendremos:

|Estado_{total}\rangle = |1 peluda\rangle |2 calva\rangle +|1 calva\rangle |2 peluda\rangle

Si ahora cambiamos de 1 a 2 y viceversa lo que encontramos es que el nuevo estado es:

|Estado_{total}'\rangle = |1 calva\rangle |2 peluda\rangle +|1 peluda\rangle |2 calva\rangle = \left(|1 peluda\rangle |2 calva\rangle -|1 calva\rangle |2 peluda\rangle\right)=|Estado_{total}\rangle

Así que no hay cambio de signo alguno.

Principio de Exclusión de Pauli

Como hemos dicho, y seguro que lo habéis leido por ahí o incluso estudiado, el principio de exclusión de Pauli nos dice:

Dos o más fermiones no pueden estar en el mismo estado.

Ahora podemos ver que eso es así, sin más que mirar qué le pasa al estado total de un par de fermiones cuando imponemos que estén en el mismo estado.  Elijamos que queremos que ambos fermiones sean peludos.

|Estado_{total}'\rangle = |1 peluda\rangle |2 peluda\rangle -|1 peluda\rangle |2 peluda\rangle =0

Efectivamente el estado da cero, no existe, no se pueden tener dos fermiones en dicho estado.  Y esto es fundamental para el comportamiento de la materia que nos rodea, que está controlada fundamentalmente por electrones y los electrones son fermiones.

De hecho si forzamos a los fermiones a estar en el mismo estado aparece una fuerza de repulsión que se opone a que los fermiones estén todos en el mismo estado.  Este proceso es fundamental para entender la estructura de las estrellas de neutrones y de las enanas blancas. Os recomendamos que busquéis información al respecto y a la vista de esta entrada veréis como todo adquiere un nuevo sentido.

Para los bosones esto no aplica, a los bosones no les importa estar todos en el mismo estado y de hecho muchas veces lo prefieren, y esto da lugar a cosas tan espectaculares como los condensados de Bose-Einstein.  Pero esta es otra historia…


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Enrique es un convencido de que cualquiera puede entender la física. Consumidor irreverente de divulgación, blogs, foros, etc hace unos días decidió empezar a divulgar a su forma. Pudo engañar a unos amigos y se abrió Cuentos Cuánticos. Además, cuando tiene tiempo, hace cosas de física, pero sin agobiarse.

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